Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Giải bất phương trình \({\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right) > 0\).
- Cô lập \(m\), đưa các bất phương trình về dạng \(m < f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _3}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > {\log _3}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3{x^2} + 6x + 6} \right) > {\log _3}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 6x + 5 + m > 0\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\\3{x^2} + 6x + 6 > {x^2} + 6x + 5 + m\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 6x + 5 + m > 0\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} + 1 - m > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Giải (1): \({x^2} + 6x + 5 + m > 0\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 > - m\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\).
Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + 6x + 5\) ta có \( - m < f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right)\).
BBT:
Từ BBT \( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow - m \le 12 \Leftrightarrow m \ge - 12\).
Giải (2): \(2{x^2} + 1 - m > 0\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow m < 2{x^2} + 1\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\).
Đặt \(g\left( x \right) = 2{x^2} + 1\) ta có \(m < g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right)\).
BBT:
Dựa vào BBT \( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le 3\).
Kết hợp ta có \( - 12 \le m \le 3\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 12; - 11; - 10;...;1;2;3} \right\}\).
Vậy có 16 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
