Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

Rút gọn \(\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3} + 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\). Từ đó rút gọn biểu thức trong log và giải bất phương trình.Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\dfrac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} + {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\dfrac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}} + ... + {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} + 1}} < 1\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\left( {\dfrac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\dfrac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}...\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} + 1}}} \right) < 1\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Ta có: \(\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3} + 1}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - \left( {x + 1} \right) + 1} \right]}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\).
Khi đó
\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\left( {\dfrac{1}{{{2^3} + 1}}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{5}.\dfrac{3}{6}.\dfrac{4}{7}....\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}.\left( {{x^3} - 1} \right)} \right) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{{37}}{{55}}}}\left( {\dfrac{{{x^3} - 1}}{9}.\dfrac{{1.2.3}}{{\left( {x - 1} \right)x\left( {x + 1} \right)}}} \right) < 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} - 1}}{9}.\dfrac{{1.2.3}}{{\left( {x - 1} \right)x\left( {x + 1} \right)}} > \dfrac{{37}}{{55}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}.\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x}} > \dfrac{{37}}{{55}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x}} > \dfrac{{111}}{{110}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x^2} + x}} > \dfrac{1}{{110}}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x < 110\\ \Leftrightarrow  - 11 < x < 10\end{array}\)
Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2 < x < 10\\x \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left\{ {3;4;5;...;9} \right\}\).
Vậy tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho bằng: \(3 + 4 + ... + 9 = \dfrac{{\left( {3 + 9} \right).7}}{2} = 42\).
Chọn D