Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right),\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
- Đưa bất phương trình về dạng \(m \ge f\left( t \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right)\).
- Khảo sát tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right)\) và kết luận.Giải chi tiết:ĐKXĐ \(x > 2\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\dfrac{1}{{x - 2}} + 4m - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2\left( {x - 2} \right) - 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + 4m - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2\left( {x - 2} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + m - 1 \ge 0\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right)\). Vì \(x \in \left[ {\dfrac{5}{2};4} \right]\) nên \(x - 2 \in \left[ {\dfrac{1}{2};2} \right] \Rightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Bất phương trình đã cho trở thành:
\(\begin{array}{l}\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 \ge 0\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\\ \Leftrightarrow m\left( {{t^2} - t + 1} \right) \ge {t^2} - 5t + 1\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}} = f\left( t \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 5} \right)\left( {{t^2} - t + 1} \right) - \left( {{t^2} - 5t + 1} \right)\left( {2t - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^3} - 2{t^2} + 2t - 5{t^2} + 5t - 5 - 2{t^3} + 10{t^2} - 2t + {t^2} - 5t + 1}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} - 4}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  \pm 1\end{array}\)
Ta có \(f\left( { - 1} \right) = \dfrac{7}{3},\,\,f\left( 1 \right) =  - 3\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = \dfrac{7}{3}\).
Vậy \(m \ge \dfrac{7}{3}\).
Chọn A