Đáp án:
$GTLN$ $của$ $Q$ $là$ $- 2$ $tại$ $a = - 1 ; b = - 1$
Giải thích các bước giải:
$a³ + b³ + 3(a² + b²) + 4(a + b) + 4 = 0$
$→ a³ + b³ + 3a² + 3b² + 4a + 4b + 4 = 0$
$→ (a³ + 3a² + 3a + 1) + (b³ + 3b² + 3b + 1) + a + b + 2=0$
$→ (a + 1)³ + (b + 1)³ + (a + b + 2) = 0$
$→ (a + 1 + b + 1)[(a + 1)² - (a + 1)(b+1) + (b+1)²] + (a + 1 + b + 1) = 0$
$→ (a + 1 + b + 1)[(a + 1)² - (a + 1)(b + 1) + (b + 1)² + 1] = 0$
Mà $(a + 1)² - (a + 1)(b + 1) + (b + 1)² + 1 \neq 0$
$⇒ a + 1 + b + 1 = 0$
$⇒ a + b + 2 = 0 $
$⇒ a + b = - 2$
$⇒ a = - 2 - b$
$ta$ $có:$ $Q = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
$→ Q = \frac{a + b}{ab} = \frac{-2}{b(-2-b)} = \frac{- 2}{- b² - 2b} =\frac{2}{b² + 2b}$
$mà$ $(b + 1)² \geq 0→b² + 2b + 1 \geq 0→ b² + 2b \geq - 1$
$→\frac{2}{b² + 2b} \leq $ $\frac{2}{-1} = -2$
$hay$ $Q \leq - 2$
$Dấu$ $"="$ $xảy$ $ra$ $khi$ $\left \{ {{a + b = - 2} \atop {b + 1 = 0}} \right.→ \left \{ {{a + b = - 2} \atop {b = - 1}} \right.→ \left \{ {{a = -1} \atop {b = -1}} \right.$
$Vậy$ $GTLN$ $của$ $Q$ $là$ $- 2$ $tại$ $a = - 1 ; b = - 1$
