$\\$
`(3-4x)/(x^2 + 1)`
`= (3 - 4x)/(x^2 + 1) - 4 + 4`
`= (3 - 4x)/(x^2 +1) - (4 (x^2 + 1) )/(x^2 + 1) + 4`
`= (3 - 4x - 4 (x^2+1) )/(x^2 + 1) + 4`
`= (3 - 4x - 4x^2 - 4)/(x^2 +1) + 4`
`= (-4x^2 - 4x - 1)/(x^2 +1) + 4`
`= (- (4x^2 + 4x + 1) )/(x^2 + 1) + 4`
`= (- (4x^2 + 2x + 2x + 1) )/(x^2 + 1)+4`
`= (- [(4x^2 + 2x) + (2x+1)] )/(x^2 + 1)+4`
`= (- [2x (2x + 1) + (2x+1)] )/(x^2 + 1)+4`
`= (- [(2x+1) (2x+1)])/(x^2 + 1)+4`
`= (- (2x+1)^2)/(x^2 + 1)+4`
Với mọi `x` có : $\begin{cases} (2x+1)^2 ≥0\\x^2 ≥ 0 \end{cases}$
`->` $\begin{cases}-(2x+1)^2 ≤0∀x\\x^2 + 1 ≥ 1 > 0∀x \end{cases}$
`-> (- (2x+1)^2)/(x^2 + 1) ≤0∀x`
`-> (- (2x+1)^2)/(x^2 + 1) + 4≤4∀x`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`↔ (2x+1)^2=0`
`↔2x+1=0`
`↔2x=-1`
`↔x=(-1)/2`
Vậy GTLN của biểu thức là `4` khi `x=(-1)/2`
