Cho biểu thức \(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. \(0<A<2\) B.\(0\le A\le 2\) C.\(\sqrt{2}\le A\le 2\) D. \(\sqrt{2}<A<2\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốp-ski: Với 2 bộ số \((1,1)\)và \(\left( \sqrt{x-2},\sqrt{4-x} \right)\)ta có: \({{\left( 1.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{4-x} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left[ {{\left( \sqrt{x-2} \right)}^{2}}\text{+}{{\left( \sqrt{4-x} \right)}^{2}} \right]\) Hay \({{A}^{2}}\le 2\left( x-2+4-x \right)=2.2=4\). Suy ra \(A\le 2\) Dấu “=” xảy ra khi \(x=3\) Mặt khác ta có \({{A}^{2}}=2+2\sqrt{\left( x-2 \right)\left( 4-x \right)}\ge 2\Rightarrow A\ge \sqrt{2}\) Dấu “=” xảy ra khi \(x=4\) hoặc \(x=2\) Chọn C.