Đáp án:

$\begin{array}{l}
1)\\
M = \dfrac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \dfrac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}\\
 = \dfrac{{{x^4} + 2}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} + \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}\\
 - \dfrac{{{x^2} + 3}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}\\
 = \dfrac{{{x^4} + 2 + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\\
 = \dfrac{{{x^4} + 2 + {x^4} - 1 - {x^4} + {x^2} - 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{{x^4} + {x^2}}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}\\
2)\\
M \ge 1\\
\dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} \ge 1\\
 \Rightarrow {x^2} \ge {x^4} - {x^2} + 1\\
 \Rightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 \le 0\\
 \Rightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} \le 0\\
 \Rightarrow {x^2} - 1 = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\left( {tm} \right)\\
x =  - 1\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
Vay\,x = 1, - 1\\
3)M = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}\\
 \Rightarrow M.{x^4} - M.{x^2} + M = {x^2}\\
 \Rightarrow M.{x^4} - \left( {M + 1} \right){x^2} + M = 0\\
 \Rightarrow {\left( {M + 1} \right)^2} - 4{M^2} \ge 0\\
 \Rightarrow {M^2} + 2M + 1 - 4{M^2} \ge 0\\
 \Rightarrow 3{M^2} - 2M - 1 \le 0\\
 \Rightarrow \left( {3M + 1} \right)\left( {M - 1} \right) \le 0\\
 \Rightarrow  - \dfrac{1}{3} \le M \le 1\\
 \Rightarrow GTLN:M = 1 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}$

1. 

Ta có  : x⁶ + 1 > 0 với ∀ x∈ R.

            x⁴  -x² +1   = ( x⁴ -2.x² .`(1)/(2)` +`(1)/(4)`) +`3/4`

                               = (x²  -`(1)/(2)`)² + `3/4` >0 với ∀ x∈ R

           x⁴ +4x² + 3 = (x⁴ +2.x² .2 +4) -1

                               = (x² +2)² -1²

                               = (x²+2-1)(x² +2+1)

                               = (x²+1)(x² +3)>0 với ∀ x∈ R

⇒ Điều kiện xác định của M :  ∀ x∈ R

-Ta có:

M= `(x⁴ +2)/((x²)³+1³)`  + `(x² -1)/(x⁴-x²+1)` - `(x²+3)/(x⁴+4x²+3)`

   = `(x⁴+2)/((x²+1)(x⁴-x²+1))` + `(x² -1)/(x⁴-x² +1)` - `(x²+3)/((x²+1)(x²+3))`

   = `(x⁴+2)/((x²+1)(x⁴-x²+1))` + `(x² -1)/(x⁴-x²+1)` - `1/(x²+1)`

   = `(x⁴ +2+x⁴ -1-(x⁴-x²+1))/((x²+1)(x⁴-x²+1))` 

   = `(x⁴+x²)/((x²+1)(x⁴-x²+1))`

   = `((x²)(x²+1))/((x²+1)(x⁴-x² +1)` 

   =`(x²)/(x⁴-x² +1)`

Vậy M =`(x²)/(x⁴-x²+1)`

2.

M ≥ 1⇔ `(x²)/(x⁴ -x²+1)` ≥ 1 ⇔ x²≥ x⁴-x² +1

                                                ⇔ 0≥ x⁴ -x²-x²+1

                                                ⇔ x⁴-2x²+1≤ 0

                                                ⇔ (x²-1)² ≤0

-Vì (x²-1)² ≥ 0 với ∀ x∈ R

⇒ (x²-1)²≤0   ⇔ x² -1 =0 

                       ⇔ (x-1)(x+1)=0

                      ⇔\(\left[ \begin{array}{l}x-1=0\\x+1=0\end{array} \right.\) 

                      ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-1\end{array} \right.\) 

Vậy M ≥ 1 ⇔ x∈ { 1; -1}

3.

-Vì giá trị biểu thức M xác định với ∀ x∈ R nên ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu x=0 thì M =`(0²)/(0⁴-0²+1)` =0

+Nếu x≠ 0 ta có M=`(x²)/(x⁴-x²+1)`=`(x²:x²)/((x⁴-x²+1):x²)` =`1/(x² -1 + `1/(x²)`

-Ta có: x² -1 + `1/(x²)` = (x² -2+ `1/(x²)` ) +1

                                      = (x² -2.x.`1/x` + `1/(x²)`)+1

                                      = (x- `1/x`)² +1 với∀ x ≠0

⇒ $\frac{1}{(x-1/x)²+1}$ ≤ ` ⇔ M≤ 1

-Dấu "=" xảy ra khi x- `1/x`= 0

                             ⇔       x² -1=0

                            ⇔ (x-1)(x+1)=0

                            ⇔\(\left[ \begin{array}{l}x-1=0\\x+1=0\end{array} \right.\) 

                           ⇔\(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-1\end{array} \right.\)

Vậy GTLN của M là Max M =1 khi x∈{ 1;-1}