a. Hàm số $(1)$ đồng biến và hàm số $(2)$ nghịch biến:
⇔ $\left \{ {{2m>0} \atop {m-1<0}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{m>0} \atop {m<1}} \right.$ ⇔ $0<m<1$
b. Đồ thị của hai hàm số song song với nhau:
⇔ $\left \{ {{2m=m-1} \atop {m+1\neq3}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{m=-1} \atop {m<1}} \right.$ ⇔ $m=-1$
c. Ta có: $y=2mx+m+1$ ⇔ $y=m(2x+1)+1$
Ta thấy với mọi giá trị của $m$, khi $x=\frac{-1}{2}$ thì $y=1$
Vậy đồ thị $(d)$ của hàm số $(1)$ luôn đi qua một điểm cố định là điểm $M(\frac{-1}{2};1)$