Cho các số dương a,b,c .Chứng minh $\rm\sqrt{\frac{(a+b)^3}{8ab(4a+4b+c)}}+\sqrt{\frac{(b+c)^3}{8bc(4b+4c+a)}}+\sqrt{\frac{(a+c)^3}{8ac(4a+4c+b)}} \ge 1$

ctvtoan6

2 năm trước

Loga Sinh Học lớp 12

0 lượt thích 12 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

phucquyabc

Đáp án + giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức Holder:

`(\sqrt{(a+b)^3/(8ab(4a+4b+4c))}+\sqrt{(b+c)^3/(8bc(4b+4c+a))}+\sqrt{(a+c)^3/(8ac(4a+4c+b))})^2 [8ab(4a+4b+c)+8bc(4b+4c+a)+8ca(4a+4c+b)]>=(a+b+b+c+c+a)^3=8(a+b+c)^3`

Vậy ta cần chứng minh:

`(8(a+b+c)^3)/(8ab(4a+4b+c)+8bc(4b+4c+a)+8ca(4a+4c+b))>=1`

`->(a+b+c)^3>=ab(4a+4b+c)+bc(4b+4c+a)+ca(4a+4c+b)`

`->(a+b+c)^3>=4ab(a+b)+4bc(b+c)+4ca(c+a)+3abc`

`->(a+b+c)^3+9abc>=4ab(a+b)+4bc(b+c)+4ca(c+a)+12abc`

`->(a+b+c)^3+9abc>=4(ab+bc+ca)(a+b+c) `

Đây là bất đẳng thức Schur

`->đpcm`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

148738849594760

Bạn kham khảo

Gọi `P` là biểu thức vế trái và đặt

`S=8ab(4a+4b+c)+8bc(4b+4c+a)+8ac(4a+4c+b)`

`->S=32(a+b+c)(ab+bc+ac)-72abc`

Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có:

`P.P.S>=(a+b+b+c+c+a)^3=8(a+b+c)^3`

Vậy ta chứng minh:

`8(a+b+c)^3>= S`

`<=>8(a+b+c)^3>=32(a+b+c)(ab+bc+ac)-72abc`

`<=>(a+b+c)^3+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ac)`

Đây chính là bất đẳng thức Schur bâc 3.

Bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi:

`a=b=c`

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

REP CÂU 1 HOẶC C2 MIK ĐỀU VOTE CHO NHAK MÀ CẢ 2 LUÔN THÌ CÀNG ĐỘI ƠN Ạ. C1. CHO TAM GIÁC MNP CÓ H,I,K LẦN LƯỢT LÀ Trung điểm Mn,Mp,Np.Xác định các vec to khác 0 có điểm đầu và điểm cuối là hai trong các điểm : M,N,P,H,I,R A.Cùng phương vs MN B,Cungd hướng vs MP C,Ngược hướng vs NP D, Bằng HI 2.Cho hình bình hành Abcd gọi M,N lần lt là trung điểm Ad và Bc,Có bao nhiêu vecto khác 0 cùng hướng vs NC A,5 B3 C11 D12

Tìm giá trị lớn nhất của: -3-|x+2|

Ai làm nhanh đúng 5 sao Đề bài:Thực hiện phép chia

M.n làm hộ mình 2 cách nhé mai mình phải nộp rồi

giúp mình cới, mình thề bài này siêu ít luôn

các bạn ơi giúp mình giải câu c,d với

Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x^4+5x^3+13x^2+25x+15

a)Phân tử A gồm có 2 nguyên tử X liên kết với 3 nguyên tử oxi và nậng hơn phân tử nitơ 17/4 lần. Xác định CTHH của phân tử A EM ĐANG CẦN GẤP Ạ 5p = ctlhn

viết 1 câu về quan điểm của các luật điểm sau đây : 1. bài tập viết tay 2. chơi những trò chơi truyền thống như trốn tìm , nhẩy dây , lò cò và bắt gà .. 3. khoanh ta phía trước và cúi đầu khi chào một người lớn tuổi 4. vâng lời ba mẹ / thầy cô mà không trả treo lưu ý : mỗi luận điểm viết 1 câu

em hết điểm rồi giúp em vưới em dgd cần gấp

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến