Giải thích các bước giải:
Ta có: $a^3+b^3+c^3=3abc$
⇔ $(a+b)^3-3a^2b-3ab^2+c^3=3abc$
⇔ $(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0$
⇔ $[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b)-3abc=0$
⇔ $(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0$
⇔ $(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)=0$
⇔ $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)=0$
⇔ $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0$
$\text{Vì a, b, c là các số dương nên $a+b+c > 0$}$
⇒ $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$
⇔ $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
⇔ $(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$
⇔ $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2 \geq 0$
nên $\left\{\begin{matrix}(a-b)^2=0 &\\(b-c)^2=0& \\(c-a)^2=0& \end{matrix}\right.$
⇔ $\left\{\begin{matrix}a-b=0 &\\b-c=0& \\c-a=0 & \end{matrix}\right.$
⇔ $\left\{\begin{matrix}a=b &\\b=c& \\ c=a & \end{matrix}\right.$
⇔ $a=b=c$ (đpcm)
Chúc bạn học tốt !!!
