$\begin{array}{l} {a^3} + {b^3} + {c^3}\\ = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3}\\ = {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) - 3ab\left( {a + b} \right) \end{array}$
Do $a+b+c \vdots 6$ nên $3(a+b+c)(a+b)c$ chia hết cho $6$
Lại có $ab(a+b)\vdots 2$ do nếu $a,b cùng chẵn$ thì tích kia chia hết cho $2$ và nếu $a,b$ không cùng tính chẵn lẻ thì $a$ chẵn hoặc $b$ chẵn nên $ab(a+b)$ chia hết cho 2. Và nếu $a,b$ cùng lẻ thì t $a+b$ chẵn chia hết cho $2$. Vậy $ab(a+b)$ chia hết cho 2 nên $3ab(a+b)$ chia hết cho $BCNN(2,3)=6$ nên $3ab(a+b)$ chia hết cho $6$.
Vậy ${a^3} + {b^3} + {c^3} \vdots 6$
