Đáp án:

\[A = 48\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
a + b + c = 6\\
 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = {6^2}\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 36\\
 \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2.\left( {ab + bc + ca} \right) = 36\\
 \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2.12 = 36\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 12\\
 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\\
 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\\
{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall a,b\\
{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall b,c\\
{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall c,a\\
 \Rightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\,\forall a,b,c\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\
{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\
{\left( {c - a} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - b = 0\\
b - c = 0\\
c - a = 0
\end{array} \right. \Rightarrow a = b = c\\
a + b + c = 6 \Rightarrow a = b = c = 2\\
 \Rightarrow A = {a^4} + {b^4} + {c^4} = {2^4} + {2^4} + {2^4} = 48
\end{array}\)

Vậy \(A = 48\)

Đáp án : 

`A = 48`

Giải thích các bước giải : 

`a + b + c = 6 `

`⇒ (a + b + c)^2 = 6^2`

`⇔ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 36`

`⇔ a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 3.12`

`⇔ a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 3.(ab + bc + ca)`

`⇔a^2 + b^2 + c^2 + 2.(ab + bc + ca) - 3.(ab + bc + ca) = 0`

`⇔ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc -  ac  = 0`

`⇔ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc -  2ac = 0`

`⇔ a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - ca + a^2 = 0`

`⇔ (a - b)^2 + (b - a)^2 + (c - a)^2 = 0 `

Ta có : `  (a - b)^2 + (b - a)^2 + (c - a)^2 ≥ 0`

mà `(a - b)^2 + (b - a)^2 + (c - a)^2 = 0 `

⇒ `{((a - b)^2=0),((b - a)^2=0),((c - a)^2=0):}`

⇔`{(a - b=0),(b - a=0),(c - a=0):}`

⇔ `{(a = b),(b = a),(c = a):}`

⇔ `a=b=c`

Mà `a + b + c = 6`

`⇒a = b = c = 2`

Thay `a = b = c = 2` vào `A = a^4 + b^4 + c^4` ta được

`A = 2^4 + 2^4 + 2^4 = 16 + 16 + 16 = 48`

Vậy `A = 48 `