Đáp án + giải thích các bước giải:
Xét `A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}=\sqrt{(a+b)^2/(a+b)}+\sqrt{(b+c)^2/(b+c)}+\sqrt{(c+a)^2/(c+a)}=\sqrt{(a^2+b^2)/(a+b)+(2ab)/(a+b)}+\sqrt{(b^2+c^2)/(b+c)+(2bc)/(b+c)}+\sqrt{(c^2+a^2)/(c+a)+(2ca)/(c+a)}`
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng `\sqrt{x+y}>=(\sqrt{x}+\sqrt{y})/\sqrt{2}`
`->A>= (\sqrt{(a^2+b^2)/(2(a+b))}+\sqrt{(b^2+c^2)/(2(b+c))}+\sqrt{(c^2+a^2)/(2(c+a))}+\sqrt{(2ab)/(2(a+b))}+\sqrt{(2bc)/(2(b+c))}+\sqrt{(2ca)/(2(c+a))})`
`->P>=\sqrt{(ab)/(a+b)}+\sqrt{(bc)/(b+c)}+\sqrt{(ca)/(c+a)}`
Áp dụng bất đẳng thức Holder:
`(\sqrt{(ab)/(a+b)}+\sqrt{(bc)/(b+c)}+\sqrt{(ca)/(c+a)})^2((a+b)/(ab)+(b+c)/(bc)+(c+a)/(ca))>=(1+1+1)^3=27`
`->P^2>=27/((a+b)/(ab)+(b+c)/(bc)+(c+a)/(ca))=27/(1/a+1/b+1/b+1/c+1/c+1/a)=27/(2. (ab+bc+ca)/(abc))=(27abc)/(2(ab+bc+ca))>=(27abc)/(6abc)=9/2`
`->P>=(3sqrt{2})/2`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=1`
