Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b}}{c+a}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{c}}{a+b}\)\(\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}\)

phatphuong2099

5 năm trước

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b}}{c+a}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{c}}{a+b}\)\(\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}\)

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 210 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

PhanV

Ta có: ĐPCM
\(\Leftrightarrow \frac{a+b+c+\sqrt{a(a+b+c)}}{b+c}+\frac{a+b+c+\sqrt{b(a+b+c)}}{c+a}+\frac{a+b+c+\sqrt{c(a+b+c)}}{a+b}\)\(\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{\frac{a}{a+b+c}}}{\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}}+\frac{1+\sqrt{\frac{b}{a+b+c}}}{\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}}+\frac{1+\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}}{\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\)
Đặt \(x=\frac{a}{a+b+c}; y=\frac{b}{a+b+c}; z=\frac{c}{a+b+c}\) ta có: x, y, z > 0 và x + y + z =1
Khi đó
ddpcm \(\Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{x}}{1-x}+\frac{1+\sqrt{y}}{1-y}+\frac{1+\sqrt{z}}{1-z}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\)
Ta cm: \(\Leftrightarrow \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}\geq \frac{9}{2}\) (1) Ta có:

\(\left [ (1-x)+(1-y)+(1-z) \right ]\left [ \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y} +\frac{1}{1-z}\right ]\geq 9\)
\(\Rightarrow \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z} \geq \frac{9}{2}\)
Từ đó suy ra (1) đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Ta cm: \(\frac{\sqrt{x}}{1-x}+\frac{\sqrt{y}}{1-y}+\frac{\sqrt{z}}{1-z}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2} \ \ (2)\)
Thật vậy, Xét hàm số \(f(x)=\sqrt{x}(1-x)\) với 0 < x < 1
Ta có \(f'(x)=\frac{1-3x}{2\sqrt{x}}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)
BBT

Suy ra \(0 Vậy ta có \(\frac{\sqrt{x}}{1-x}=\frac{x}{(1-x)\sqrt{x}}\geq \frac{x}{2}=\frac{3\sqrt{3}x}{2}\)
tương tự \(\frac{\sqrt{y}}{1-y}\geq \frac{3\sqrt{3}x}{2}; \frac{\sqrt{z}}{1-z}\geq \frac{3\sqrt{3}z}{2}\)
Suy ra \(\frac{\sqrt{x}}{1-x}+\frac{\sqrt{y}}{1-y}+\frac{\sqrt{z}}{1-z}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(x+y+z)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Từ đó suy ra (2) đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Từ đó suy ra đpcm dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Giải hệ phương trình

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{()x+1)(y-2))}+x+5=2y+\sqrt{y-2} \\ \frac{(x-8)(y+1)}{x^2-4x+7}=(y-2)(\sqrt{x+1}-3) \end{matrix}\right. \ \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)

Giải bất phương trình: \(\sqrt{9x^2+3}+9x-1\geq \sqrt{9x^2+15}\)

Giải bất phương trình \(x^2+5x< 4(1+\sqrt{x^3+2x^2-4x})\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình là x - 3y = 0 và x + 5y = 0. Đỉnh C nằm trên đường thẳng \(\Delta :x+y-2=0\) và có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm của tam giác ABC, biết đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C đi qua điểm E(-2; 6).

Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A, B được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Lượng nguyên liệu I, II và III mà xí nghiệp có lần lượt là 15, 21, 18. Lượng nguyên liệu I, II, III cần cho một đơn vị sản phẩm loại A lần lượt là 1, 3, 3, loại B lần lượt là 3, 3, 2 đơn vị. Hãy lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp thu tiền lãi nhiều nhất, biết tiền lãi một đơn vị sản phẩm loại A lãi 2 triệu đồng, loại B lãi 3 triệu đồng.

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (x-2).\sqrt{1+\frac{3x}{y}}=2x-y\\ y^2.\sqrt{1+\frac{3x}{y}}=2x^2+y^2-4x \end{matrix}\right.(x,y\in R)\)

Trong mặt phẳng vói hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(-2;1) và thỏa mãn điều kiện \(\widehat{AIB}=90^0\), chân đường cao kẻ từ A đến BC là \(D(-1;-1)\), đường thẳng AC đi qua điểm M(-1;4). Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết rằng đỉnh A có hoành độ dương.

Giải phương trình \(\left\{\begin{matrix} x+3\sqrt{xy+x-y^2-y}=5y+4\\ \sqrt{4y^2-x-2}+\sqrt{y-1}=x-1 \end{matrix}\right.\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (C). Đường thẳng BC và đường trung tuyến kẻ từ A lần lượt có phương trình là x − y + 1 = 0 và 3x + 5y + 7 = 0. Đường thẳng qua A và vuông góc với BC cắt đường tròn (C) tại điểm D \(eq\) A. Giả sử D(−1; −2), tìm tọa độ các điểm B và C.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD (AB < BC), E là điểm đối xứng của D qua C và đường tròn đường kính DE cắt đoạn thẳng BE tại điểm thứ hai là \(I\left ( \frac{4}{5};-\frac{2}{5} \right )\) (I khác B, E). Đường thẳng CI cắt đường thẳng AB tại \(T\left (-\frac{2}{5};-1 \right )\). Biết điểm A thuộc đường thẳng \(d:x+y-4=0\) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến