Đáp án:
$P_{min}=\frac{12}{\sqrt{407}}\Leftrightarrow a=\frac{6}{\sqrt{407}}, b=\frac{8}{\sqrt{407}}, c=\frac{9}{\sqrt{407}}$
Giải thích các bước giải:
Dự đoán bất đẳng thức xảy ra khi $a=x, b=y, c=z$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được
$2(a^{3}+a^{3}+x^{3})\geq 6xa^{2}$
$3(b^{3}+b^{3}+y^{3})\geq 9yb^{2}$
$4(c^{3}+c^{3}+z^{3})\geq 12zc^{2}$
Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta được :
$2P+2x^{3}+3y^{3}+4z^{3}\geq 6xa^{2}+9yb^{2}+12zc^{2}$
Từ đó tìm x,y,z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} &\frac{6x}{1}=\frac{9y}{2}=\frac{12z}{3} \\ &x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x=\frac{6}{\sqrt{407}} & \\ &y=\frac{8}{\sqrt{407}} & \\ &z=\frac{9}{\sqrt{407}} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P\geq \frac{12}{\sqrt{407}}$
Vậy $P_{min}=\frac{12}{\sqrt{407}}\Leftrightarrow a=\frac{6}{\sqrt{407}}, b=\frac{8}{\sqrt{407}}, c=\frac{9}{\sqrt{407}}$
