ĐKXĐ:\(x>\dfrac{-3}{2};y\ge0\)
Từ đề bài ta có thêm ĐK: y > 0 (vì nếu y=0 thì VP=0, VT > 0)
Đặt \(\sqrt{2x+3}=a,\sqrt{y}=b\) => \(a>0,b>0\)
Ta có:
\(\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{a+1}{b+1}\)
<=> \(b^3+b^2=a^3+a^2\)
<=>\(\left(a^3-b^3\right)+\left(a^2-b^2\right)=0\)
<=>\(\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)
<=>\(\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+a+b\right)=0\)
<=>a-b=0(dễ thấy \(a^2+ab+b^2+a+b>0\) với a>0, b>0)
<=>a=b
<=>\(\sqrt{2x+3}=\sqrt{y}\)
<=>2x + 3 = y
Q = xy - 3y - 2x - 3
= x( 2x + 3 ) - 3( 2x + 3 ) - 2x - 3
= 2x2 + 3x - 6x - 9 - 2x - 3
= 2x2 - 5x - 12
= \(2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{121}{8}\ge-\dfrac{121}{8}\)
Vậy Q min = \(-\dfrac{121}{8}\) khi và chỉ khi x = \(\dfrac{5}{4}\), y = \(2.\dfrac{5}{4}+3=\dfrac{11}{2}\).
