Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} = 2020\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{{x^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{z + x}}\).A.\(2020\)B.\(1010\)C.\(2021\)D.\(1011\)

chaucongtu

2 năm trước

Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} = 2020\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{{x^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{{y^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{z + x}}\).
A.\(2020\)
B.\(1010\)
C.\(2021\)
D.\(1011\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 19 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

211826303206515

Đáp án đúng: B

Giải chi tiết:Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt x \\b = \sqrt y \\c = \sqrt z \end{array} \right. \Rightarrow a,b,c > 0\)
\(\sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} = 2020\)\( \Rightarrow ab + bc + ca = 2020\)
Ta có: \(Q = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^4}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + {a^2}}}\)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\) ta được:
\(\begin{array}{l}Q = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{b^4}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + {a^2}}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{c^4}}}{{{c^2} + {a^2}}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {b^2} + {c^2} + {c^2} + {a^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\\ = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2}\end{array}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ca\\ \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca = 2020\\ \Rightarrow Q \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \ge \dfrac{{2020}}{2} = 1010\\ \Rightarrow Q \ge 1010\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \sqrt {\dfrac{{2020}}{3}} \Rightarrow x = y = z = \dfrac{{2020}}{3}\)
Vậy GTNN của Q là \(1010\) khi \(x = y = z = \dfrac{{2020}}{3}\)
Chọn B.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Một chiếc ti vi giảm giá hai lần, mỗi lần giảm giá 10% so với giá đang bán, sau khi giảm giá 2 lần thì giá còn lại là 16 200 000 đồng. Hỏi giá ban đầu của chiếc ti vi là bao nhiêu?
A.18 000 000 đồng.
B.20 000 000 đồng.
C.22 000 000 đồng.
D.25 000 000 đồng.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):\,\,y = x - 3\). Tìm \(m\) để hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
A.\(m = 1\)
B.\(m = 2\)
C.\(m = 3\)
D.\(m = 4\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 6cm\), góc \(\angle ABC = {60^0}\). Tính chu vi tam giác \(ABC\).
A.\(18 + 6\sqrt 3\,\,cm\)
B.\(12 + 6\sqrt 3\,\,cm\)
C.\(12 + 8\sqrt 3\,\,cm\)
D.\(18 + 8\sqrt 3\,\,cm\)

Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x > 2y\) và \(xy = 3\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + 4{y^2} - 11}}{{x - 2y}}\).
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(\dfrac{1}{2}\)

Tìm các số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + 4{z^2} - 4x - 2y + 4z + 6 = 0\).
A.\(\left ( x;y;z \right ) = \left ( 2;1; - \dfrac{1}{2} \right )\)
B.\(\left ( x;y;z \right ) = \left ( - 2; - 1; \dfrac{1}{2} \right )\)
C.\(\left ( x;y;z \right ) = \left ( - 2;1; \dfrac{1}{2} \right )\)
D.\(\left ( x;y;z \right ) = \left ( 2; - 1; - \dfrac{1}{2} \right )\)

Rút gọn biểu thức: \(M = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} - \dfrac{x}{{x - 2}}\) với \(x \ne 2\) và \(x \ne - 2.\)
A.\(M = 1\)
B.\(M = -1\)
C.\(M = 2\)
D.\(M = -2\)

Cho hàm số bậc nhất \(y = 2x - 1.\) Tính giá trị của \(y\) khi \(x = - 2.\)
A.\(y = 5\)
B.\(y = -3\)
C.\(y = 3\)
D.\(y = -5\)

Trong công nghiệp điều chế khí N2 và O2 bằng phương pháp chưng cất phân đoạn không khí lỏng thì sẽ thu được khí nào trước (biết không khí chiếm khoảng 80% N2, 20% O2 và nhiệt độ sôi của N2 là -196oC còn O2 là -183oC.
A.O2 trước N2.
B.N2 trước O2.
C.Chỉ thu được N2.
D.Chỉ thu được O2.

Giải phương trình \(\dfrac{{1 - \sqrt {x - 2019} }}{{x - 2019}} + \dfrac{{1 - \sqrt {y - 2020} }}{{y - 2020}} + \dfrac{{1 - \sqrt {z - 2021} }}{{z - 2021}} + \dfrac{3}{4} = 0.\)
A.\(\left ( x;y;z \right ) = \left ( 2020;2021;2022 \right )\)
B.\(\left ( x;y;z \right ) = \left ( 2021;2022;2023 \right )\)
C.\(\left ( x;y;z \right ) = \left ( 2022;2023;2024 \right )\)
D.\(\left ( x;y;z \right ) = \left ( 2023;2024;2025 \right )\)

Thả một cục nước đá lạnh có khối lượng \({m_1} = 900\,\,g\) vào \({m_2} = 1,5\,\,kg\) nước ở nhiệt độ \({t_2} = {6^0}C\). Khi có cân bằng nhiệt, lượng nước chỉ còn lại 1,47 kg. Xác định nhiệt độ ban đầu của cục đá. Cho nhiệt dung riêng của nước đá là \({c_1} = 2100\,\,J/kg.K\), của nước \({c_2} = 4200\,\,J/kg.K\). Nhiệt nóng chảy của nước đá \(\lambda = 3,{4.10^5}\,\,J/kg\).
A.\(25,{4^0}C\).
B.\( - 25,{4^0}C\).
C.\(12,{3^0}C\).
D.\( - 12,{3^0}C\).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến