Đáp án:
$MinP = 2 + \sqrt{3} ⇔ x = 0; y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Giải thích các bước giải:
Trước hết chứng minh với $∀x, y$ ta luôn có:
$ \sqrt{(x - 1)² + y²} + \sqrt{(x + 1)² + y²} ≥ 2\sqrt{1 + y²}$
$ ⇔ \sqrt{x² + y² + 1 - 2x} + \sqrt{x² + y² + 1 + 2x} ≥ 2\sqrt{1 + y²}$
$ ⇔ 2(x² + y² + 1) + 2\sqrt{(x² + y² + 1)² - (2x)²} ≥ 4(1 + y²)$
$ ⇔ \sqrt{(x² + y² + 1)² - 4x²} ≥ 1 - x² + y²$
$ ⇔ (x² + y² + 1)² - 4x² ≥ |1 - x² + y²|²$
$ ⇔ x^{4} + y^{4} + 1 + 2x²y² + 2x² + 2y² - 4x² $
$ ≥ x^{4} + y^{4} + 1 - 2x² + 2y² - 2xy² $
$ ⇔ 4x²y² ≥ 0 $ ( luôn đúng).
$ ⇒ P ≥ 2\sqrt{1 + y²} + |y - 2|$, Dấu $'='⇔ x = 0 (*)$
@ Với $ y ≥ 2 ⇒ P ≥ 2\sqrt{5} (1)$
@ Với $ y < 2 ⇔ |y - 2| = 2 - y $
$ ⇒ P ≥ 2\sqrt{1 + y²} + 2 - y $
$ = 2\sqrt{1 + y²} - (y + \sqrt{3}) + 2 + \sqrt{3} $
$ = \dfrac{4(1 + y²) - ( y + \sqrt{3})²}{2\sqrt{1 + y²} + (y + \sqrt{3})} + 2 + \sqrt{3}$
$ = \dfrac{(\sqrt{3}y - 1)²}{2\sqrt{1 + y²} + (y + \sqrt{3})} + 2 + \sqrt{3} ≥ 2 + \sqrt{3} (2)$
So sánh $ (1); (2) ⇒ MinP = 2 + \sqrt{3}$ xảy ra khi đồng thời :
Xảy ra dấu $'='$ ở $(*); (2) ⇔ x = 0; \sqrt{3}y - 1 = 0 ⇔ y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
