Cho các số thực x,y,z \(e-1\) thỏa mãn x + y + z = 3 . Chứng minh \(\dfrac{x+1}{y+1}+\dfrac{y+1}{z+1}+\dfrac{z+1}{x+1}\le\dfrac{25}{3\sqrt[3]{4xy+4yz+4xz}}\)
WLOG \(x\ge y \ge z\)
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Rearrangement ta có:
\(VT=\dfrac{x+1}{y+1}+\dfrac{y+1}{z+1}+\dfrac{z+1}{x+1}\)
\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+xy^2+yz^2+xz^2+3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(\le\dfrac{21+xy^2+yz^2+xz^2}{xy+yz+xz+4}\)\(\le\dfrac{21+x^2y+xyz+yz^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)
\(\le\dfrac{21+y\left(x+z\right)^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)\(\le\dfrac{21+\dfrac{\left(\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3}{2}}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)
\(=\dfrac{21+4}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}=\dfrac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}=VP\)
Dấu "=" khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và h.vị
3 ) Tìm x thuộc Z biết : 2/x =x/8
A = 4116−14 / 10290−35
Cần gấp Trình bày rõ ràng
Lâu lâu mới có một câu hỏi của thầy ai trả lời được thầy sẽ tặng bạn ấy 2GP ( và một phần quà nhỏ nữa )
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:
\(\dfrac{b^2c}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{c^2a}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
Cho x,y là số dương thỏa mãn x+y=2. CM: \(x^3y^3\left(x^3+y^3\right)\le2\)
với a , b , c > 0 và abc =1
CMR: \(\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\le1\)
giải phương trình
\(\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2+2x+10}=\sqrt{29}\)
cho e hỏi
cho tam giác ABC vuông ở A , các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I . gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB,AC
a, chứng minh: AD=AE
b, cho AB=6CM ; AC=8CM.tính AD
Người ta chuyển 4 tấn gạo từ kho A sang Kho B, rồi lại chuyển từ kho B sang kho A một số gạo gấp 3 lần số gạo còn lại trong kho A. Tiếp tục chuyển thêm 2 đợt như thế nữa thì cuối cùng ở kho A còn 480 tấn gạo, kho B có 20 tấn.Hỏi mỗi kho lúc đầu có bao nhiêu tấn gạo?
1)tổng số học sinh của khối lớp 7 là 204 học sinh. cuối kỳ I số học sinh giỏi, khá, trung bình, tỉ lệ với 3; 5; 6; 2(ko có học sinh kém) tính số học sinh giỏi, khá, trung bình, yếu
Tìm x,y thỏa (x2-4x+22)(y2+6y+36)=486
tìm x thuộc số tự nhiên
2x:412 = 810
Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến