$\\$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có :
`a/(5b) =b/(5c) = c/(5d) = d/(5a) = (a+b+c+d)/(5a+5b +5c+5d)= (a+b+c+d)/(5 (a+b+c+d) ) = 1/5`
`->` $\begin{cases} \dfrac{a}{5b}=\dfrac{1}{5}\\\dfrac{b}{5c}=\dfrac{1}{5}\\\dfrac{c}{5d}=\dfrac{1}{5} \\\dfrac{d}{5a}=\dfrac{1}{5} \end{cases}$ `->` $\begin{cases} a=b\\b=c\\c =d\\d=a\end{cases}$
Từ đó `->a=b=c=d`
`S = a^{1000}/d^{1009} . b^{1009}/c^{1000}`
`-> S = a^{1000}/a^{1009} . a^{1009}/a^{1000}`
`-> S = 1`
Vậy `S=1` khi `a/(5b) =b/(5c) = c/(5d) = d/(5a)` và `a+b+c+d \ne 0`