Đáp án: `d(D; SBM) = (2a)/sqrt(33)`
Giải thích các bước giải:
$\text{ Do ABCD là hình chữ nhật nên DC // AB hay DM // AB (1) }$
$\text{ M là trung điểm DC; => DM =}$ `(DC)/2 = (AB)/2` $(2)$
$\text{ Gọi giao điểm AD và BM là K}$
$\text{ Từ (1) và (2) => DM là đường trung bình của tam giác AKB}$
$\text{ => D là trung điểm AK hay KD = DA}$
$=>$ `(DK)/(AK) = 1/2`
$=>$ `(d(D; SBM))/(d(A; SBM)) = 1/2`
$<=>$ `d(D; SBM) = (d(A; SBM))/2`
$\text{ +) Ta có: AK = 2AD = 2.2a = 4a}$
$\text{ Kẻ AE ⊥ BK (3)}$
$\text{ Xét tam giác KAB vuông tại A ta có:}$
`1/(AE^2)=1/(AK^2)+1/(AB^2)=1/((4a)^2)+1/(a^2)=1/(16a^2)+(16)/(16a^2)=(17)/(16a^2)`
$=>$ `AE = sqrt(1 : (17)/(16a^2)) = (4a)/sqrt(17)`
$\text{ Kẻ AI ⊥ SE (4)}$
$\text{ Do SA ⊥ (ABCD) mà AE ∈ (ABCD) => SA ⊥ AE}$
$\text{ => Tam giác SAE vuông}$
$=>$ `1/(AI^2)=1/(SA^2)+1/(AE^2)=1/(a^2)+(17)/(16a^2)=(16)/(16a^2)+(17)/(16a^2)=(33)/(16a^2)`
$=>$ `AI = sqrt(1 : (33)/(16a^2))=(4a)/sqrt(33)`
$\text{ Do SA ⊥ (ABCD) mà BK ∈ (ABCD); => SA ⊥ BK (5)}$
$\text{ Từ (3) và (5) => BK ⊥ (SAE) hay BM ⊥ (SAE)}$
$\text{ Mà AI ∈ (SAE); => BM ⊥ AI (6)}$
$\text{ Từ (4) và (6) => AI ⊥ (SBM)}$
$\text{ => d(A; SBM) = AI; Mà ta đã tính được}$ `AI=(4a)/sqrt(33)`
$\text{ => d(A; SBM) =}$ `(4a)/sqrt(33)`
$\text{ => d(D; SBM) =}$ `(d(A; SBM))/2 = (4a)/sqrt(33) : 2 = (2a)/sqrt(33)`
