Giải thích các bước giải:
Gọi số hạng đầu của CSC là \({u_1} = a\) và công sai của CSC là \(d\).
Khi đó, ta có:
\(\begin{array}{l}
{S_m} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_m}\\
= a + \left( {a + d} \right) + \left( {a + 2d} \right) + .... + \left( {a + \left( {m - 1} \right)d} \right)\\
= ma + d\left( {1 + 2 + .... + \left( {m - 1} \right)} \right)\\
= ma + \frac{{\left( {m - 1} \right)m}}{2}d\\
{S_m} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\\
= a + \left( {a + d} \right) + \left( {a + 2d} \right) + .... + \left( {a + \left( {n - 1} \right)d} \right)\\
= ma + d\left( {1 + 2 + .... + \left( {n - 1} \right)} \right)\\
= na + \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}d\\
\frac{{{S_m}}}{{{S_n}}} = \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} \Leftrightarrow \frac{{ma + \frac{{\left( {m - 1} \right)m}}{2}d}}{{na + \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}d}} = \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\\
\Leftrightarrow 2m.{n^2}a + \left( {m - 1} \right).m.{n^2}.d = 2{m^2}.n.a + \left( {n - 1} \right)n.{m^2}d\\
\Leftrightarrow 2na + \left( {m - 1} \right).n.d = 2ma + \left( {n - 1} \right)m.d\\
\Leftrightarrow \left( {2n - 2m} \right)a = \left[ {\left( {n - 1} \right)m - \left( {m - 1} \right)n} \right]d\\
\Leftrightarrow \left( {2n - 2m} \right)a = \left( { - m + n} \right)d\\
\Leftrightarrow 2a = d\\
\Rightarrow \frac{{{u_m}}}{{{u_n}}} = \frac{{a + \left( {m - 1} \right)d}}{{a + \left( {n - 1} \right)d}} = \frac{{a + \left( {m - 1} \right).2a}}{{a + \left( {n - 1} \right).2a}} = \frac{{2m - 1}}{{2n - 1}}
\end{array}\)
