Đáp án:
a) $AD = 8 \, cm$
b) $S_{ABC} = 24 \, cm^2$
Giải thích các bước giải:
Gọi $AD, BE, CF$ lần lượt là 3 đường cao kẻ từ đỉnh $A, B$ và $C$
a) Ta có:
$\dfrac{S_{BHC}}{S_{ABC}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BC.HD}{\dfrac{1}{2}BC.AD} = \dfrac{HD}{AD}$
Tương tự, ta được:
$\dfrac{S_{AHB}}{S_{ABC}} = \dfrac{HF}{CF}$
$\dfrac{S_{AHC}}{S_{ABC}} = \dfrac{HE}{BE}$
$\Rightarrow \dfrac{S_{BHC}}{S_{ABC}} + \dfrac{S_{AHB}}{S_{ABC}} + \dfrac{S_{AHC}}{S_{ABC}} = 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{HD}{AD} + \dfrac{HE}{BE} + \dfrac{HF}{CF} = 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{HD}{HA + HD} + \dfrac{HE}{HB + HE} + \dfrac{HF}{HC + HF} = 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{HD}{7 + HD} + \dfrac{HE}{\sqrt5 + HE} + \dfrac{HF}{\sqrt{17} + HF} = 1$ $(*)$
Mặt khác, ta có:
$ΔAHE\sim ΔBHD \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{HE}{HD}$
$\Rightarrow HE = \dfrac{AH.HD}{BH} = \dfrac{7HD}{\sqrt5}$
$ΔAHF \sim ΔCHD \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{CH} = \dfrac{HF}{HD}$
$\Rightarrow HF = \dfrac{AH.HD}{CH} = \dfrac{7HD}{\sqrt{17}}$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\dfrac{HD}{7 + HD} + \dfrac{\dfrac{7HD}{\sqrt5}}{\sqrt5 + \dfrac{7HD}{\sqrt5}} + \dfrac{\dfrac{7HD}{\sqrt{17}}}{\sqrt{17} +\dfrac{7HD}{\sqrt{17}}} = 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{HD}{7 + HD} + \dfrac{7HD}{5 + 7HD} + \dfrac{7HD}{17 + 7HD} = 1$
$\Leftrightarrow HD = 1$
$\Rightarrow AD = HD + HA = 1 + 7 = 8 \, cm$
b) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BH^2 = BD^2 + HD^2$
$\Rightarrow BD = \sqrt{BH^2 - HD^2} = \sqrt{5 - 1} = 2 \, cm$
$CH^2 = CD^2 + HD^2$
$\Rightarrow CD = \sqrt{CH^2 - HD^2} = \sqrt{17 - 1} = 4 \, cm$
$\Rightarrow BC = BD + CD = 2 + 4 = 6 \, cm$
Ta được:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AD.BC = \dfrac{1}{2}.8.6 = 24 \, cm^2$
