a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = $180^{o}$
⇒ ∠BAC + 2 . ∠ABC = $180^{o}$
⇒ ∠ABC = $\frac{180^{o}-∠BAC}{2}$ (1)
Ta có: AB = AC (cmt); BD = CE (gt)
⇒ AB + BD = AC + CE
⇒ AD = AE
⇒ ΔADE cân tại A ⇒ ∠ADE = ∠AED
∠DAE + ∠ADE + ∠AED = $180^{o}$
⇒ ∠DAE + 2 . ∠ADE = $180^{o}$
⇒ ∠ADE = $\frac{180^{o}-∠DAE}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∠ABC = ∠ADE
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⇒ DE // BC
b) Ta có: ∠DBM = ∠ABC (2 góc đối đỉnh)
∠ECN = ∠ACB (2 góc đối đỉnh)
mà ∠ABC = ∠ACB (theo a) ⇒ ∠DBM = ∠ECN
Xét ΔDMB và ΔENC có:
∠DMB = ∠ENC = $90^{o}$
BD = CE (gt)
∠DBM = ∠ECN (cmt)
⇒ ΔDMB = ΔENC (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ DM = EN (2 cạnh tương ứng)
c) Ta có: ∠ABM + ∠ABC = $180^{o}$ (2 góc kề bù)
∠ACN + ∠ACB = $180^{o}$ (2 góc kề bù)
mà ∠ABC = ∠ACB (theo a) ⇒ ∠ABM = ∠ACN
Ta có: ΔDMB = ΔENC (theo b)
⇒ BM = CN (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔABM và ΔACN có:
AB = AC (theo a)
∠ABM = ∠ACN (cmt)
BM = CN (cmt)
⇒ ΔABM = ΔACN (2 cạnh tương ứng)
⇒ ΔAMN cân tại A
d) Gọi BH ⊥AM, CK ⊥ AN
Ta có: ΔABM = ΔACN (theo c)
⇒ ∠BAM = ∠CAN (2 góc tương ứng)
Xét ΔAHB và ΔAKC có:
AB = AC (theo a)
∠AHB = ∠AKC = $90^{o}$
∠BAH = ∠CAK (cmt)
⇒ ΔAHB = ΔAKC (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ ∠HAB = ∠KAC (2 góc tương ứng)
AH = AK (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔAHI và ΔAKI có:
AH = AK (cmt)
AI: cạnh chung
∠AHI = ∠AKI = $90^{o}$
⇒ ΔAHI = ΔAKI (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒ ∠HAI = ∠KAI (2 góc tương ứng)
⇒ AI là tia phân giác của ∠MAN (3)
Ta có: ∠HAB = ∠KAC (cmt); ∠HAI = ∠KAI (cmt)
⇒ ∠HAI - ∠HAB = ∠KAI - ∠KAC
⇒ ∠BAI = ∠CAI
⇒ ∠AI là tia phân giác của ∠BAC (4)
Từ (3) và (4) ⇒ AI là p/g chung của ∠BAC và ∠MAN
