Cho đa giác đều \(n\) đỉnh, \(n \in N\) và \(n \ge 3\). Tìm \(n\) biết rằng đa giác đã cho có \(135\) đường chéo. A.\(n = 15\) B.\(n = 27\) C.\(n = 8\) D.\(n = 18\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi \(n\) đỉnh là \(C_n^2\), trong đó có \(n\) cạnh Suy ra số đường chéo của đa giác là \(C_n^2 - n\). + Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên ta có phương trình \(C_n^2 - n = 135\). \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} - n = 135,\;\;\,\left( {n \in \mathbb{N},\;n \ge 2} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} - n = 135\\ \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)n - 2n = 270 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 270 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\;\,\left( {tm} \right)\\n = - 15\,\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 18.\end{array}\) Chọn D