`\qquad f(x)= x^2+px+q\ (p,q\in Z)`
Với `x=a\in Z`
Đặt `m=f(a)=a^2+pa+q\in Z`
$\\$
Với `x=a+1`
`=>f(a+1)=(a+1)^2+p(a+1)+q`
$\\$
Với `x=m+a\in Z`
`=>f(x)=f(m+a)`
`=(m+a)^2+p.(m+a)+q`
$=m^2+2ma+a^2+pm+pa+q$
`=m(m+2a+p)+(a^2+pa+q)`
`=m.(m+2a+p)+m`
`=m.(m+2a+p+1)`
`=m(a^2+pa+q+2a+p+1)`
`=m.[a^2+2a+1+p(a+1)+q]`
`=m.[(a+1)^2+p.(a+1)+q]`
`=f(a).f(a+1)`
$\\$
`=>f(m+a)=f(a).f(a+1)` (*) với `m=f(a)=a^2+pa+q`
$\\$
Với `a=2008` ta có:
`\qquad m=f(2008)=2008^2+2008p+q\ \in Z`
Đặt `k=m+2008=f(2008)+2008\ \in Z`
Từ (*)`=>f(m+2008)=f(2008).f(2008+1)`
`=>f(k)=f(2008).f(2009)`
Vậy tồn tại số nguyên $k=f(2008)+2008$ thỏa `f(k)=f(2008).f(2009)`
