Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Chuẩn hóa $a+b+c=3$
BĐT cần chứng minh tương đương:
$\frac{a}{\sqrt{3-2a}}+\frac{b}{\sqrt{3-2b}}+\frac{c}{\sqrt{3-2c}} \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Mà $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leq \sqrt{3(a+b+c)}=3$
Nên ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{a}{\sqrt{3-2a}}+\frac{b}{\sqrt{3-2b}}+\frac{c}{\sqrt{3-2c}} \geq 3$
$⇔(\frac{a}{\sqrt{3-2a}}+\frac{b}{\sqrt{3-2b}}+\frac{c}{\sqrt{3-2c}})^2 \geq 9$
Thật vậy, đặt $P=(\frac{a}{\sqrt{3-2a}}+\frac{b}{\sqrt{3-2b}}+\frac{c}{\sqrt{3-2c}})^2$
Ta có:
$P \geq 3(\frac{ab}{\sqrt{(3-2a)(3-2b)}}+\frac{bc}{\sqrt{(3-2b)(3-2c)}}+\frac{ca}{\sqrt{(3-2c)(3-2a)}})$
$P \geq 3(\frac{2ab}{6-2a-2b}+\frac{2bc}{6-2b-2c}+\frac{2ca}{6-2c-2a})$
$P \geq 3(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})$
$P \geq 3(\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}})$
$P \geq 3(a+b+c)=9$ (đpcm)
