Cm
a.Ta có: 2AB=AM+AN
=>AB+AC=AB-BM+AC+CN
=>BM-CN=AB-AB+AC-AC
=>BM-CN=0
=>BM=CN
b.Kẻ MH//AN (H∈BC)
Ta có: MBH=ACB (2 góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
MHB=ACB (2 góc đồng vị)
=>MBH=MHB (=ACB)
=>ΔHMB cân tại M
=>HM=BM (2 cạnh bên bằng nhau)
Lại có: BM=CN (cm câu a)
=>HM=CN (=BM)
Xét ΔHIM và ΔCIN có:
HMI=CNI (2 góc so le trong)
HM=CN (cmt)
IHM=ICN (2 góc so le trong)
=>ΔHIM=ΔCIN (g.c.g)
=>IM=IN (2 cạnh tương ứng)
=>I là trung điểm của MN
=>BC cắt MN tại trung điểm I của MN
c.Trong ΔABC cân tại A có:
Đường phân giác AK đồng thời là đường trung trực
Lại có: K thuộc đường trung trực của CB
=>KB=KC
Xét ΔKBM và ΔKCN có:
BM=CN (cm câu a)
KM=KN (do K thuộc đường trung trực của MN)
KB=KC (cmt)
=>ΔKBM=ΔKCN (c.c.c)
=>KBM=KCN (1) (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔKAB và ΔKAC có:
AK chung
KAB=KAC (do AK là phân giác góc A)
AB=AC (gt)
=>ΔKAB=ΔKAC (c.g.c)
=>KAB=KAC (2) (2 góc tương ứng)
Từ (1) và (2) =>KCN=KCA
Mà KCN+KCA=180 độ (2 góc kề bù)
=>KCN=KCA=$\frac{180}{2}$=90 độ
=>KC⊥AC.
