Trên tia đối tia $ED$ lấy điểm $F$ sao cho $E$ là trung điểm $DF$
Xét $\Delta EDA$ và $\Delta EFC$, ta có:
$ED=EF$ ( $E$ là trung điểm $DF$ )
$\widehat{DEA}=\widehat{FEC}$ ( hai góc đối đỉnh )
$EA=EC$ ( $E$ là trung điểm $AC$ )
$\to \Delta EDA=\Delta EFC\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$
$\to \widehat{EDA}=\widehat{EFC}$ ( hai góc tương ứng )
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
Nên $CF\,\,||\,\,DA$
Hay $CF\,\,||\,\,AB$
$\,\,\,\,\,\,\Delta EDA=\Delta EFC\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to CF=AD$ ( hai cạnh tương ứng )
Mà $AD=BD$ ( $D$ là trung điểm $AB$ )
Nên $CF=BD$
Xét $\Delta BDC$ và $\Delta FCD$, ta có:
$BD=CF$ ( cmt )
$\widehat{BDC}=\widehat{FCD}$ ( vì $CF\,\,||\,\,AB$, hai góc so le trong )
$CD$ là cạnh chung
$\to \Delta BDC=\Delta FCD\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$
$\to BC=FD$ ( hai cạnh tương ứng )
Mà $FD=2DE$ ( $E$ là trung điểm $DF$ )
Nên $BC=2DE$
Hay $DE=\dfrac{1}{2}BC$
$\,\,\,\,\,\,\Delta BDC=\Delta FCD\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to \widehat{DBC}=\widehat{CFD}$ ( hai góc tương ứng )
Mà $\widehat{CFD}=\widehat{ADE}$ ( vì $\Delta EDA=\Delta EFC$ )
Nên $\widehat{DBC}=\widehat{ADE}$
Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị
Vậy $DE\,\,||\,\,BC$
