Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{cases}AI = IB = \dfrac12AB\quad (gt)\\AK = KC = \dfrac12AC\quad (gt)\end{cases}$

$\Rightarrow IK$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}IK = \dfrac12BC\\IK//BC\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}IK = LP\\\widehat{AKI} = \widehat{ACB}\quad \text{(đồng vị)}\end{cases}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$IL$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}IL = \dfrac12AC\\IL//AC\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}IL = KN\\\widehat{BLI} = \widehat{ACB}\quad \text{(đồng vị)}\end{cases}$

Do đó:

$\quad \widehat{AKI} = \widehat{BLI}\quad (=\widehat{ACB})$

$\Leftrightarrow \widehat{AKI} + 90^\circ =\widehat{BLI} + 90^\circ$

$\Leftrightarrow \widehat{AKI} + \widehat{AKN} = \widehat{BLI} + \widehat{BLP}$

$\Leftrightarrow \widehat{IKN} = \widehat{PLI}$

Xét $\triangle IKN$ và $\triangle PLI$ có:

$ \begin{cases}IL = KN\quad (cmt)\\ \widehat{IKN} = \widehat{PLI}\quad (cmt)\\PL = IK\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle IKN = \triangle PLI\ (c.g.c)$

$\Rightarrow IN = IP$ (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có:

$\triangle IKN = \triangle PLI$ (câu a)

$\Rightarrow \widehat{KIN} = \widehat{LPI}$ (hai góc tương ứng)

Ta lại có:

$LP\perp BC\quad (gt)$

$IK//BC\quad$ (câu a)

$\Rightarrow LP\perp IK$

$\Leftrightarrow \widehat{KIP} + \widehat{LPI} = 90^\circ$

$\Leftrightarrow \widehat{KIP} + \widehat{KIN} = 90^\circ$

$\Leftrightarrow \widehat{PIN} = 90^\circ$

$\Leftrightarrow \widehat{PIN} = \widehat{MIA} = 90^\circ$

$\Leftrightarrow \widehat{PIN} + \widehat{AIN} = \widehat{MIA} + \widehat{AIN}$

$\Leftrightarrow \widehat{PIA} = \widehat{MIN}$

Xét $\triangle MIN$ và $\triangle AIP$ có:

$\begin{cases}\widehat{PIA} = \widehat{MIN}\quad (cmt)\\IM = IA = \dfrac12AB\quad (gt)\\IN = IP\quad \text{(câu a)}\end{cases}$

Do đó: $\triangle MIN = \triangle AIP\ (c.g.c)$

$\Rightarrow MN = AP$ (hai cạnh tương ứng)

c) Gọi $E$ là giao điểm $AP$ và $IN$

$\Rightarrow \triangle EIP$ vuông tại $I\quad (\widehat{PIN}=90^\circ)$

Ta có:

$\triangle MIN = \triangle AIP$ (câu b)

$\Rightarrow \widehat{MNI} = \widehat{API}$ (hai góc tương ứng)

$\widehat{AEN} = \widehat{PEN}$ (đối đỉnh)

Do đó:

$\widehat{MNI} + \widehat{AEN} = \widehat{API} + \widehat{PEN}$

$\Leftrightarrow \widehat{MNI} + \widehat{AEN} = 90^\circ\quad (\triangle EIP$ vuông tại $I)$

$\Rightarrow MN\perp AP$