a) Dễ dàng c/m được tứ giác AEBF có 3 góc vuông => AEDG là hình CN
b)
Tứ giác AEDF là hình chữ nhật ⇒ DE // AC; DF // AB
Trong ∆ ABC ta có: DB = DC (gt)
DE // AC
=> AE = EB (tính chất đường trung bình tam giác); DF// AB
AF = FC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác ADBM : AE = EB (chứng minh trên)
ED = EM (vì AB là trung trực DM)
Suy ra: Tứ giác ADBM là hình bình hành
AB ⊥ DM
Vậy hình bình hành ADBM là hình thoi
Xét tứ giác ADCN:
AF = FC (chứng minh trên)
DF = FN (vì AC là đường trung trực DN)
Suy ra: Tứ giác ADCN là hình bình hành
AC ⊥ DN
Vậy hình bình hành ADCN là hình thoi
c)
Tứ giác ADBM là hình thoi ⇒ AM // DB và AM = AD
hay AM // BC và AM = AD (*)
Tứ giác ADCN là hình thoi ⇒ AN // DC và AD = AN
hay AN // BC và AN = AD (**)
Từ (*) và (**) =>
AM trung với AN hay M, A, N thẳng hàng
Và AM = AN nên A là trung điểm của MN
=> dpcm
d/
Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE = AF
Ta có: AE = 1/2AB ; AF =1/2AC
nên AE = AF và AB = AC
Vậy nếu ∆ ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEDF là hình vuông.
