a) Ta có E là trung điểm AC (gt)
D là trung điểm BC (gt)
Suy ra DE là đường trung bình của ∆ABC
Hay DE // AB ; DE = AB/2
Suy ra góc ABC = góc EDC (đồng vị)
Góc BAC = góc DEC (đồng vị)
Ta có:
Góc BAC + góc ABK = 90 độ
Góc ODE + góc EDC = 90 độ (O thuộc trung trực của BC nên OD vuông BC)
Mà góc BAC = góc EDC
Nên góc ABK = góc ODE
Chứng minh tương tự, ta được: góc ABH = góc OED
b) Xét ∆AHB và ∆DOE có
Góc BAH = góc ODE (câu a)
Góc ABH = góc OED (chứng minh ở câu a)
Do đó ∆AHB ~ ∆DOE (g.g)
c) Ta có OD/AH = DE/AB = 1/2 (∆AHB ~ ∆DOE)
GD/AG = 1/2 (G là trọng tâm)
Xét ∆AHG và ∆DOG có
OD/AH = GD/GA = 1/2
Góc HAG = góc GDO (so le trong, AH//OD do cùng vuông BC)
Do đó ∆AHG ~ ∆DOG (c.g.c)
d) Do ∆AHG ~ ∆DOG (câu c)
Suy ra góc AGH = góc DGO
Mà góc AGH và góc DGO ở vị trí đối đỉnh
A, G, D thẳng hàng
Nên H, G, O thẳng hàng
Chú thích
H là trực tâm, G là trọng tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng tạo thành một đường thẳng. Đường thẳng này là đường thẳng Euler (Ơ-le).
Từ hai tam giác đồng dạng ở câu c, ta được HG = 2OG
