Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có: `BC^2=AB^2+AC^2`
`BC^2=AH^2+BH^2+AH^2+HC^2`
`BC^2=2AH^2+BE^2+EH^2+HF^2_FC^2`
`BC^2=2AH^2+BE^2+FC^2+AH^2` (do `HE^2+HF^2=EF^2=AH^2)`
`BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2` (đpcm)
b) Áp dụng HTL trong tam giác:
`AB^2=BH.BC`
`AC^2=CH.BC`
`⇒ \frac{AB^2}{AC}=\frac{HB}{HC}` (đpcm)
c) `AB^3=AB.BH.BC=AB.BC.\sqrt{BE.AB}` (do `BH^2=BE.BA)`
`AC^3=CH.BC.AC=AC.BC.\sqrt{CF.AC}`
`⇒ \frac{AB^3}{AC^{3}}=\frac{AB.BC.\sqrt{BE.AB}}{AC.BC.\sqrt{CF.AC}}`
`⇒ \frac{AB^6}{AC^{6}}=\frac{BE.AB^3}{CF.AC^3}`
`⇒ \frac{AB^3}{AC^{3}}=\frac{BE}{CF}`
d) Nhân AH cả 2 vế ta có:
`AH^4=BC.HE.HF.AH`
`⇔ AH^4=AB.AC.HE.HF`
`⇔ AH^4=AH.BH.AH.CH`
`⇔ AH^4=AH^2.AH^2=AH^4`
`⇒` DPCM
e) Cmtt như câu d
f) Xét `\Delta AHB` có:
`BE=\frac{BH^2}{BA}`
`⇔ BE^2=\frac{BH^{4}}{BA^{2}}=\frac{BH^{4}}{BH.BC}=\frac{BH^3}{BC}\ (1)`
Tương tự ta được: `CF^2=\frac{CH^3}{BC}\ (2)`
Từ `(1),(2)`
`⇒` $\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\dfrac{BH}{\sqrt[3]{BC^2}}+\dfrac{CH}{\sqrt[3]{BC^2}}=\dfrac{BC}{\sqrt[3]{BC^2}}=\sqrt[3]{BC^2}$
`⇒ ĐPCM`
