Lời giải:
a) Ta có:
$\widehat{ABI} = \widehat{CBI} = \dfrac12\widehat{ABH} \quad (gt)$
$\widehat{HAJ} = \widehat{CAJ} = \dfrac12\widehat{HAC}\quad (gt)$
$\widehat{ABH} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)
$\Rightarrow \widehat{ABI} = \widehat{CAJ}$
Ta lại có:
$\widehat{CAJ} + \widehat{BAJ} = \widehat{BAC} = 90^\circ$
$\Rightarrow \widehat{ABI} + \widehat{BAJ} = 90^\circ$
$\Rightarrow BI\perp AJ$
$\Rightarrow \triangle ABE$ vuông tại $E$
b) Gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng $CJ$ và $AI$
Chứng minh tương tự câu a, ta được: $CF\perp AI$
Gọi $K$ là giao điểm $BI$ và $CJ$
hay $K$ là giao điểm $BE$ và $CF$
$\Rightarrow K$ là trực tâm $\triangle AIJ$
$\Rightarrow AK\perp IJ$
Mặt khác:
$BI$ và $CI$ là lần lượt là phân giác $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$
$\Rightarrow K$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$
$\Rightarrow AK$ là phân giác $\widehat{BAC}$
Ta cũng có: $AD$ là phân giác $\widehat{BAC}\quad (gt)$
$\Rightarrow A,K,D$ thẳng hàng
mà $AK\perp IJ\quad (cmt)$
nên $AD\perp IJ$
