Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.+ Sử dụng tính chất của các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.+ Các định lí từ vuông góc tới song song.+ Tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trung trực trong tam giác cân. Giải chi tiết:a) Xét hai tam giác vuông\(\Delta ABD\)và\(\Delta EBD\)có:+ \(BD\)chung+ \(\angle ABD = \angle EBD\) (vì\(BD\)là tia phân giác của \(\angle ABC\))\( \Rightarrow \Delta ABD = \)\(\Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm)b) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\,\left( {gt} \right)\\DE \bot BC\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH//DE\) (từ vuông góc đến song song)\( \Rightarrow \widehat {AID} = \widehat {IDE}\) (2 góc so le trong) (1)Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (câu a) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {BDE}\) (2 góc tương ứng) hay \(\widehat {ADI} = \widehat {IDE}\) (2)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AID} = \widehat {ADI}\). Do đó \(\Delta AID\) cân tại \(A\). (đpcm)c) Vì \(AH//DE\) (cmt) nên \(\widehat {HAE} = \widehat {AED}\) (2 góc so le trong) (3)Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (câu a) nên \(AD = DE\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta ADE\) cân tại D.\( \Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {DEA}\) (2 góc tương ứng) (4)Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {HAE} = \widehat {DAE}\)\( \Rightarrow AE\) là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\) (đpcm).d) Vì \(\Delta AID\) cân tại \(A\)\( \Rightarrow AI = AD\), lại có \(AD = DE\) (cmt) \( \Rightarrow AI = DE\)Nếu \(DC = 2AI\) \( \Rightarrow DC = 2DE\). Gọi \(M\) là trung điểm \(DC\)\( \Rightarrow DM = MC\). Xét tam giác vuông \(DEC\) có \(EM\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow EM = DM = MC\)\( \Rightarrow \Delta DEM\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {EDC} = 60^\circ \) (tính chât tam giác đều).Xét tam giác \(DEC\) vuông tại \(E\) có \(\widehat {EDC} = 60^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {DCE} = 30^\circ \) hay \(\widehat {ACB} = 30^\circ \).Vậy để \(DC = 2AI\) thì tam giác \(ABC\) có thêm điều kiện là \(\widehat {ACB} = 30^\circ \).
