Đáp án:
Xét `ΔABC` có :
`AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2= 5^2 = 25`
`BC^2 = 5^2 = 25`
`-> AB^2 + AC^2 = BC^2 (=25)`
`-> ΔABC` vuông tại `A`
$\\$
$a,$
Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có :
`hat{ABD} = hat{EBD}` (giả thiết)
`BD` chung
`AB = BE` (giả thiết)
`-> ΔABD = ΔEBD` (cạnh - góc - cạnh)
`-> AD = DE` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
$\\$
$b,$
Ta có : `AB = BE` (giả thiết)
`-> B` nằm trên đường trung trực của `AE (1)`
$\\$
Ta có : `AD = DE` (chứng minh trên)
`-> D` nằm trên đường trung trực của `AE (2)`
$\\$
Từ `(1)` và `(2)`
`-> BD` là đường trung trực của `AE`
`-> BD⊥AE`
$\\$
$\\$
$c,$
Vì `ΔABD = ΔEBD` (chứng minh trên)
`-> hat{BAD} = hat{BED} = 90^o` (2 góc tương ứng)
Xét `ΔADF` và `ΔEDC` có :
`AD = DE` (chứng minh trên)
`hat{FAD} = hat{CED} = 90^o`
`hat{ADF} = hat{EDC}` (2 góc đối đỉnh)
`-> ΔADF = ΔEDC` (góc - cạnh - góc)
`-> AF = EC` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
Áp dụng BĐT trong tam giác cho `ΔADF` có :
`AD + AF > DF`
Tương tự ta sẽ có : `DE + EC > DC` (BĐT cho `ΔDEC`)
mà `AD = DE, AF = EC`
`⇔ AD + AF + DE + EC > DF + DC`
`⇔ AD + AF + AD + AF > DF + DC`
`⇔ 2AD + 2AF > DF + DC`
`⇔ 2 (AD + AF) > DF + DC (3)`
$\\$
Áp dụng BĐT trong tam giác cho `ΔFDC` có :
`DF + DC > FC (4)`
$\\$
Từ `(3)` và `(4)`
`-> 2 (AD + AF) > DF + DC > FC`
`-> 2 (AD + AF) > FC`