a,
$\Delta AMN$ và $\Delta BNM$ có:
$\widehat{MAN}=\widehat{NBM}=90^o$
$MN$ chung
$\widehat{ANM}=\widehat{BMN}$ ($\Delta EMN$ cân $E$)
$\to \Delta AMN=\Delta BNM$ (ch-gn)
$\Delta BEN$ và $\Delta AEM$ có:
$\widehat{EBN}=\widehat{EAM}=90^o$
$\widehat{MEN}$ chung
$EN=EM$ ($\Delta ENM$ cân $E$)
$\to \Delta BEN=\Delta AEM$ (ch-gn)
b,
$\Delta BEN=\Delta AEM\to \widehat{BMI}=\widehat{ANI}, EB=EA$
$\to EM-EB=EN-EA$
$\to MB=NA$
Mà $\widehat{MBI}=\widehat{NAI}=90^o$
Suy ra $\Delta MBI=\Delta NAI$ (g.c.g)
c,
$\Delta MEN$ có $MA$, $NB$ là các đường cao.
$\to I$ là trực tâm
$\to EI$ là đường cao $\Delta MEN$
$\to \widehat{EHM}=\widehat{EHN}=90^o$.
Mà $\widehat{EMH}=\widehat{ENH}$, $EM=EN$
$\to\Delta EMH=\Delta ENH$ (ch-gn)
$\to MH=NH$
Vậy $H$ là trung điểm $MN$
d,
$EN=EA+AN=5(cm)$
$\to EM=EN=5(cm)$
$\Delta EMA$ vuông tại $A$ có:
$EA^2+AM^2=EM^2$
$\to 2^2+AM^2=5^2$
$\to AM=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}(cm)$
e,
$\Delta EMH=\Delta ENH$
$\to \widehat{BEH}=\widehat{AEH}$
Mà $EB=EA$, $EH$ chung
$\to \Delta EBH=\Delta EAH$ (c.g.c)
$\to \widehat{EHB}=\widehat{EHA}$
Vậy $HI$ là phân giác $\widehat{BHA}$
