1, *Xét tứ giác MAOB có :
góc MAO = 90∘ (vì MA là tiếp tuyến của đường tròn )
góc MBO = 90∘ (vì MB là tiếp tuyến của đường tròn )
⇒ góc MAO + góc MBO = 90∘+90∘ = 180∘ (2 góc đối nhau)
⇒ tứ giác MAOB nội tiếp (d/h)
2, *Xét ΔMAC và ΔMDA có :
góc MAC = góc MDA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)
góc AMD chung
⇒ ΔMAC ∝ ΔMDA (g.g)
⇒$\frac{MA}{MD }$ = $\frac{MC}{MA}$ (c.c.t.ư)
⇒MA^2 = MC.MD(đpcm)
3, * Có : MA =MB (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ Điểm M cách đều 2 điểm A,B
OA = OB = R ⇒ Điểm O cách đều 2 điểm A,B
Suy ra OM là đường trung trực của AB (t/c)
⇒ OM ↓ AB tại H
⇒ AH là đường cao
* Xét ΔMAO có góc MAO = 90∘(cmt) , đường cao AH (cmt)
⇒ MH.MO = MA² (hệ thức lượng trong Δ vuông)
⇒ OH.OM=OA²( hệ thức lượng trong Δ vuông ) (1)
* có : MC.MD=MA² (cmt) (2)
* Cộng vế với vế (1),(2) ta được :
OH.OM+MC.MD = OA² + MA² = MO²(đpcm) (OA²+MA²=OM² theo pitago)
4, * Có : MH.MO = MA²(cmt)
MC.MD=MA² (cmt)
⇒ MH.MO=MC.MD
⇒$\frac{MC}{MH}$ = $\frac{MO}{MD}$
*Xét Δ MCH và ΔMOD có :
$\frac{MC}{MH}$ = $\frac{MO}{MD}$ (cmt)
góc DMO chung
⇒ Δ MCH ∝ ΔMOD (c.g.c)
⇒ góc MHC = góc MDO(c.g.t.u)
* Xét tứ giác CHOD có : góc MHC = góc MDO(cmt)
⇒ tứ giác CHOD nội tiếp (d/h)
⇒ góc HCD = góc KOD (t/c)
* Có : góc KCD = $\frac{1}{2}$ sđ cung DK (góc ntiếp chắn cung DK)
góc KOD = sđ cung DK (góc ở tâm chắn cung DK)
⇒góc KCD = $\frac{1}{2}$ góc KOD = $\frac{1}{2}$ góc HCD(vì góc HCD = góc KOD cmt )
⇒ CK là tia p/g của góc HCD (t/c) (3)
*Mà góc ICK = 90∘(góc ntiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ IC ↓ CK (4)
Từ (3) , (4) suy ra : CI là tia phân giác góc MCH (đpcm)
