`a)` Ta có:
`\hat{ABC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>CB`$\perp AD$
`CD` là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$
`=>CD`$\perp OC$
`=>∆ACD` vuông tại $C$
`=>AB.AD=AC^2` (hệ thức lượng)
`=>AB.AD=(2R)^2` (do $AC$ là đường kính của $(O;R)$)
`=>AB.AD=4R^2` (đpcm)
$\\$
`b)` Gọi $E$ là giao điểm của $OD$ và $MC$;$H$ là giao điểm của $AB$ và $OM$.
$MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$
`=>MA=MB`
Mà $OA=OB=R$
`=>OM` là trung trực của $AB$
Vì $AB$ cắt $OM$ tại $H$
`=>AB`$\perp OM$ tại trung điểm $H$ của $AB$
`=>\hat{MHA}=90°` và `AB=2AH`
$\\$
$MA$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$
`=>MA`$\perp OA$
`=>MA`$\perp AC$
Mà $CD\perp OC$ (c/m trên)
`=>CD`$\perp AC$
`=>MA`//$CD$
`=>\hat{MAH}=\hat{ADC}` (hai góc so le trong)
$\\$
Xét $∆MAH$ và $∆ADC$ có:
`\qquad \hat{MAH}=\hat{ADC}` (c/m trên)
`\qquad \hat{MHA}=\hat{ACD}=90°`
`=>∆MAH∽∆ADC` (g-g)
`=>{MA}/{AD}={AH}/{DC}`
`=>MA.DC=AH.AD`
`=>2MA.DC=2AH.AD=AB.AD`
$\\$
Mà $AB.AD=4R^2=2.OC.AC$
`=>2MA.DC=2OC.AC`
`=>MA.CD=OC.AC`
`=>{MA}/{OC}={AC}/{CD}`
$\\$
Xét $∆MAC$ và $∆OCD$ có:
`\qquad \hat{MAC}=\hat{OCD}=90°`
`\qquad {MA}/{OC}={AC}/{CD}` (c/m trên)
`=>∆MAC∽∆OCD` (c-g-c)
`=>\hat{AMC}=\hat{COD}`
`=>\hat{AME}=\hat{COD}`
$\\$
Ta có: `\hat{COD}+\hat{AOE}=180°`(hai góc kề bù)
`=>\hat{AME}+\hat{AOE}=180°`
`=>`Tứ giác $MAOE$ nội tiếp
`=>\hat{MEO}+\hat{MAO}=180°`
`=>\hat{MEO}=180°-\hat{MAO}=180°-90°=90°`
`=>OD`$\perp MC$ tại $E$ (đpcm)
