Đáp án+Giải thích các bước giải:
$a)$ Bán kính $OM$ vuông góc với dây $AB$ tại $H$
$\Rightarrow H$ là trung điểm $AB$
$A$ thuộc trung trực $OM$
$\Rightarrow OA=MA$
Mà $OA=OM=R$
$\Rightarrow OA=MA=OM=R$
$\Rightarrow \Delta OAM$ đều
$b) AC, BC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn
$\Rightarrow AC=BC$
$\Rightarrow C$ thuộc trung trực $AB (1)$
$OM \perp AB$ tại trung điểm $H$ của $AB$
$\Rightarrow OM$ là trung trực $AB (2)$
$(1)(2) \Rightarrow O,M,C$ thẳng hàng
$\Delta OAM$ đều $\Rightarrow \widehat{O_1}=60^\circ$
$\Delta OAC$ vuông tại $A$
$\Rightarrow AC=OA \tan \widehat{O_1}=R\sqrt{3}$
$\Delta OAC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{AC^2}\\ \Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{AC^2}}}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
$c) AC, BC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn
$\Rightarrow OC$ là phân giác $\widehat{AOB}$
$\Rightarrow \widehat{AOB}=2\widehat{O_1}=60^\circ\\ \widehat{O_3}=\widehat{AOB}-\widehat{AON}=30^\circ \\ \widehat{O_2}=\widehat{AON}-\widehat{O_1}=30^\circ $
Xét $\Delta OBN$ và $\Delta OMN$
$ON:$ chung
$\widehat{O_3}=\widehat{O_2}=30^\circ \\ OB=OM=R\\ \Rightarrow \Delta OBN = \Delta OMN (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{OBN}=\widehat{OMN}\\ \Rightarrow \widehat{OMN}=90^\circ $
$\Rightarrow MN$ là tiếp tuyến của $(O).$
