a) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn có AB là đường kính nên ˆBDA=90∘BDA^=90∘ hay ˆMDN=90∘MDN^=90∘
Tam giác ACM nội tiếp đường tròn có AC là đường kính nên ˆAMC=90∘AMC^=90∘
Suy ra: CM⊥AD⇒ˆCMD=90∘CM⊥AD⇒CMD^=90∘
Tam giác BCN nội tiếp trong đường tròn có BC là đường kính nên ˆBNC=90∘BNC^=90∘
Suy ra: CN⊥BD⇒ˆCND=90∘CN⊥BD⇒CND^=90∘
Tứ giác CMDN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
b) Tam giác ACD vuông tại C có CM ⊥ AD.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
CD2=DM.DACD2=DM.DA (1)
Tam giác BCD vuông tại C nên CN ^ BD.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
CD2=DN.DBCD2=DN.DB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: DM.DA = DN.DB
c) Gọi P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC, I là giao điểm của MN với DC.
Vì CMDN là hình chữ nhật nên IC = IM = ID = IN
Tam giác CNI cân tại I nên ˆICN=ˆINCICN^=INC^ (3)
Tam giác CNQ cân tại Q nên ˆQCN=ˆQNCQCN^=QNC^ (4)
Vì AB ^ CD nên ˆICN+ˆQCN=90∘ICN^+QCN^=90∘ (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: ˆINC+ˆQNC=90∘INC^+QNC^=90∘ hay MN ^ QN
Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Tam giác CMI cân tại I nên ˆICM=ˆIMCICM^=IMC^ (6)
Tam giác CMP cân tại P nên ˆPCM=ˆPMCPCM^=PMC^ (7)
Vì AB ⊥ CD nên ˆPCM+ˆICM=90∘PCM^+ICM^=90∘ (8)
Từ (6), (7) và (8) suy ra: ˆPMC+ˆIMC=90∘PMC^+IMC^=90∘ hay MN ⊥ PM
Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC.
