a) Có d là đường trung trực của AB, AB ∩ d = H
⇒ d ⊥ AB; HA = HB
Xét ΔAHM và ΔBHM có:
HA = HB (cmt)
∠AHM = ∠BHM = $90^{o}$
HM: cạnh chung
⇒ ΔAHM = ΔBHM (c.g.c)
⇒ ∠AMH = ∠BMH (2 góc tương ứng)
⇒ MH là phân giác ∠AMB (đpcm)
b) Ta có: ΔAHM = ΔBHM (theo a)
⇒ MA = MB (2 cạnh tương ứng)
∠MAH = ∠MBH (2 góc tương ứng) (1)
Xét ΔAHP và ΔBHP có:
HA = HB (theo a)
∠AHP = ∠BHP = $90^{o}$
HP: cạnh chung
⇒ ΔAHP = ΔBHP (c.g.c)
⇒ ∠PAH = ∠PBH (2 góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∠MAH - ∠PAH = ∠MBH - ∠PBH
⇒ ∠MAP = ∠MBP
Xét ΔAEM và ΔBFM có:
∠M: góc chung
MA = MB (theo a)
∠MAP = ∠MBP (cmt)
⇒ ΔAEM = ΔBFM (g.c.g)
⇒ ME = MF (2 cạnh tương ứng)
⇒ ΔMEF cân tại M ⇒ ∠MEF = ∠MFE
ΔMEF có: ∠EMF + ∠MEF + ∠MFE = $180^{o}$
⇒ ∠EMF + 2 . ∠MEF = $180^{o}$
⇒ 2 . ∠MEF = $180^{o}$ - ∠EMF
⇒ ∠MEF = $\frac{180^{o} - ∠EMF}{2}$ (3)
Có: MA = MB (cmt) ⇒ ΔMAB cân tại M ⇒ ∠MAB = ∠MBA
ΔMAB có: ∠AMB + ∠MAB + ∠MBA = $180^{o}$
⇒ ∠AMB + 2 . ∠MBA = $180^{o}$
⇒ 2 . ∠MBA = $180^{o}$ - ∠AMB
⇒ ∠MBA = $\frac{180^{o} - ∠AMB}{2}$ (4)
Từ (3) và (4) ⇒ ∠MEF = ∠MBA
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị ⇒ EF // AB
Lại có: d ⊥ AB (cm a) ⇒ d ⊥ EF hay MH ⊥ EF (5)
Gọi I là giao điểm của MH và EF
Xét ΔMIE và ΔMIF có:
MI: cạnh chung
∠FMI = ∠EMI (theo a)
ME = MF (cmt)
⇒ ΔMIE = ΔMIF (c.g.c)
⇒ IE = IF (2 cạnh tương ứng)
⇒ I là trung điểm của EF (6)
Từ (5) và (6) ⇒ MH là đường trung trực của EF (đpcm)
c) Ta có: MA = MB (theo b); MF = ME (theo b)
⇒ MA - MF = MB - ME
⇒ AF = BE (đpcm)
