Đáp án :
$m = 2$ hoặc $m = -3$
Giải thích các bước giải :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là :
$2x² = mx + 1$
$→2x²-mx - 1=0$
Ta có : $Δ' = (-m)² - 4.2.(-1) = m² + 8 > 0∀m$
$→$ pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $∀m$
$→ (d)$ luôn cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $∀m$
Theo hệ thức Vi - ét : $\left \{ {{x1+x2=\frac{m}{2}}\atop {x1.x2=\frac{-1}{2}}} \right.$
Ta có :
$4.(x1² + x2²)+(2.x1+1)(2.x2+1)=9$
$→4.[(x1+x2)² - 2.x1.x2] + 4.x1.x2 + 2.x1+ 2.x2 + 1=9$
$→4(x1 + x2)² -8.x1.x2 + 4.x1.x2 + 2(x1+x2)-8=0$
$→4(x1 + x2)² - 4.x1.x2 + 2(x1 + x2)-8=0$
$→ 4.(\frac{m}{2})²- 4.\frac{-1}{2} +2.\frac{m}{2}-8=0$
$→ 4.\frac{m²}{4}+2+m-8=0$
$→m²+m-6=0$
Ta có :
$Δ = 1² - 4.(-6) =1+24=25>0$
$→$ pt có 2 nghiệm phân biệt
$m1 =\frac{-1 + \sqrt{25}}{2}= \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} =2$
$m2= \frac{-1-\sqrt{25}}{2}= \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Vậy $m = 2$ hoặc $m = -3$ là giá trị cần tìm
