Cho đường thẳng \(d:x - y + 4 = 0\). Hỏi đường thẳng nào trong các đường thẳng sau có ảnh là \(d\) trong phép đối xứng tâm \(I\left( {4;1} \right)\)? A. B. C.\(x - y - 8 = 0\) D.\(x - y + 6 = 0\)
Giải chi tiết:Phép đối xứng biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó + Gọi đường thẳng \(d'\) có ảnh là \(d \Rightarrow d'\parallel d\). \( \Rightarrow d'\) có dạng: \(x - y + c = 0\) + Chọn điểm \(A\left( {0;4} \right) \in d\). + Phép đối xứng tâm \(I\) biến điểm \(A\) thuộc \(d\) thành \(A'\) thuộc \(d'\) \( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA'\). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 8\\{y_{A'}} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {8; - 2} \right)\). Vì \(A' \in d'\), thay điểm \(A'\) vào \(d'\) ta có: \(8 - \left( { - 2} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = - 10\). Vậy phương trình đường thẳng \(d':\,\,x - y - 10 = 0\). Chọn B.