Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1. Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh \(H{C_1}.{A_1}C = {A_1}{C_1}.H{B_1}\).
Xét tứ giác \(A{B_1}H{C_1}\) có \(\angle A{B_1}H + \angle A{C_1}H = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(A{B_1}H{C_1}\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
\( \Rightarrow \angle H{B_1}{C_1} = \angle HA{C_1} = \angle {A_1}AB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(H{C_1}\)).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle {A_1}AB + \angle ABC = {90^0}\\\angle BC{C_1} + \angle ABC = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle {A_1}AB = \angle BC{C_1}\).
\( \Rightarrow \angle H{B_1}{C_1} = \angle BC{C_1} = \angle {A_1}C{C_1}\).
Xét tứ giác \(B{A_1}H{C_1}\) có \(\angle B{A_1}H + \angle B{C_1}H = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(B{A_1}H{C_1}\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
\( \Rightarrow \angle H{C_1}{A_1} =  \angle HB{A_1} = \angle {B_1}BC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({A_1}H\)).
Ta có: \(\angle H{C_1}{B_1} = \angle HA{B_1} = \angle {A_1}AC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(H{B_1}\))
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\angle {B_1}BC + \angle ACB = {90^0}\\\angle {A_1}AC + \angle ACB = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle {B_1}BC = \angle {A_1}AC\) (cùng phụ với \(\angle BCA\))
Từ đó suy ra \(\angle H{C_1}{A_1} = \angle H{C_1}{B_1} \Rightarrow \angle H{C_1}B = \angle {A_1}{C_1}C\).
Xét tam giác \(H{B_1}{C_1}\) và tam giác \({A_1}C{C_1}\) có:
\(\begin{array}{l}\angle H{B_1}{C_1} = \angle {A_1}C{C_1}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle H{C_1}B = \angle {A_1}{C_1}C\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta H{B_1}{C_1} \sim \Delta {A_1}C{C_1}\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{H{C_1}}}{{{A_1}{C_1}}} = \frac{{H{B_1}}}{{{A_1}C}} \Leftrightarrow H{C_1}.{A_1}C = {A_1}{C_1}.H{B_1}\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\) 
2. Chứng minh ba điểm \(B,\,\,B',\,\,O\) thẳng hàng.
Ta có:
\(B'A' = B'C'\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow B'\) thuộc trung trực của \(A'C'\).
\(OA' = OC'\) \(\left( { = R} \right)\) \( \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(A'C'\).
Do đó \(OB'\) là trung trực của \(A'C'\) (1)
Ta có tứ giác \(A{C_1}{A_1}C\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có có hai đỉnh \({C_1},\,\,{A_1}\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(AC\) dưới góc \({90^0}\)).
\( \Rightarrow \angle C'{A_1}C = {180^0} - \angle {C_1}AC = {180^0} - \angle BAC.\)
Lại có : \(ABA'C\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BA'C = {180^0} - \angle BAC\\ \Rightarrow \angle C'{A_1}C = \angle B'AC = {180^0} - \angle BAC\end{array}\)
Lại có :\(\angle B{A_1}A' = \angle C'{A_1}C\) (hai góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \angle C'{A_1}C = \angle B'AC = \angle C'{A_1}C.\)
Mặt khác ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\angle A'CB = {180^0} - \angle A'BC - \angle BA'C\\\angle BA'{A_1} = {180^0} - \angle A'BC - \angle B{A_1}A'\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle BCA' = \angle BA'C'.\)
Mà \(\angle BC'A' = \angle BCA'\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(A'B\))
\( \Rightarrow \angle BC'A' = \angle BA'C' \Rightarrow \Delta BA'C'\) là tam giác cân tại \(B.\)
\( \Rightarrow BC' = BA'\) (tính chất tam giác cân)
Lại có \(OC' = OA' = R\)
\( \Rightarrow OB\) là đường trung trực của \(A'C'.\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow B \in OB'\) hay \(B,\,\,B',\,\,O\) thẳng hàng.
3. Khi tam giác \(ABC\) là tam giác đều. Hãy tính \(A'C'\) theo \(R\).

Khi tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow {A_1}\) là trung điểm của \(BC\) ; \({B_1}\) là trung điểm của \(AC\); \({C_1}\) là trung điểm của \(AB\) và \(H \equiv O\).
\( \Rightarrow {A_1}{C_1}\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow {A_1}{C_1}//AC \Rightarrow A'C'//AC\).
Mà \(OB' \bot A'C'\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow OB' \bot AC\).
Lại có  \(B{B_1} \bot AC\)  (gt) \( \Rightarrow B{B_1} \equiv OB' \Rightarrow B';\,\,B;\,\,I;\,\,O;\,\,{B_1}\) thẳng hàng.
Xét tam giác \(AB{B_1}\) có:
\({C_1}\) là trung điểm của \(AB\) ;
\({C_1}I//A{B_1}\,\,\left( {{A_1}{C_1}//AC} \right)\) ;
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(B{B_1}\) (tính chất đường trung bình của tam giác) \( \Rightarrow BI = \frac{1}{2}B{B_1}\).
Mà \(BH = \frac{2}{3}B{B_1}\) (H là trực tâm đồng thời là trọng tâm tam giác \(ABC\))
\( \Rightarrow BI = \frac{3}{4}BH \Rightarrow IH = \frac{1}{4}BH = \frac{R}{4}\).
Xét tam giác vuông \(HIC'\) có \(IC' = \sqrt {HC{'^2} - H{I^2}}  = \sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}}}{{16}}}  = \frac{{R\sqrt {15} }}{4}\).
Do \(IH \bot A'C' \Rightarrow I\) là trung điểm của \(A'C'\)  (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow A'C' = 2IC' = 2.\frac{{R\sqrt {15} }}{4} = \frac{{R\sqrt {15} }}{2}\).