Đáp án: $C$ đối xứng $M$ qua $O$
Giải thích các bước giải:
Dễ cm $H; K; P$ thẳng hàng (là kinh điển nên bạn tự cm)
Nếu $C$ thuộc cung $BM$ không chứa điểm $N$
$ ⇒ H$ nằm giữa $K; P$
Trên cung $BN$ không chứa điểm $M$ lấy $C'$ đối xứng với $C$
qua $AB$. Gọi $H'; K', P'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $C'$
lên đường thẳng $BM; MN; BN ⇒ H'; P'; K'$ thẳng hàng
và $ P'$ nằm giữa $H'; K' ⇒ HK = K'P' ≤ H'K' $
Do đó chỉ xét $C$ thuộc cung $BN$
Mặt khác dễ cm $ΔCHK$ đồng dạng $ΔCBN$(bạn tự cm)
$ ⇒ \dfrac{HK}{BN} = \dfrac{CH}{BC} ⇒ HK = \dfrac{CH}{BC}.BN ≤ BN$( không đổi)
$ ⇒ HK$ lớn nhất khi $ \dfrac{CH}{BC} = 1 ⇔ CH = BC ⇔ H ≡ B$
$ ⇔ BC⊥BM ⇔ MC$ là đường kính của $(O)$