Đáp án đúng:
Giải chi tiết:                  
1) Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp.
Ta có BE và CE là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại B và C
\( \Rightarrow \angle OBE = \angle OCE = {90^o}\) (tính chất tiếp tuyến)
Xét tứ giác BOCE có:
 \(\angle OBE + \angle OCE = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)
Mà 2 góc đó là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow \) Tứ giác BOCE nội tiếp (dhnb).
2) AE cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai D \(\left( {D \ne A} \right)\). Chứng minh \(E{B^2} = ED.EA\).
Xét \(\Delta EBD\) và \(\Delta EAB\) có:
\(\angle E\,\,\,chung\)
\(\angle EBD = \angle EAB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)
\( \Rightarrow \Delta EBD \sim \Delta EAB\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{EB}}{{EA}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) 
\( \Rightarrow \,E{B^2} = ED.EA\,\,\left( {dpcm} \right).\) 
3) Gọi F là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D song song với EC cắt BC tại G. Chứng minh GF song song với AC.
Ta có F là trung điểm của AD
\( \Rightarrow OF \bot AD\) (quan hệ giữa bán kính và dây cung)
\( \Rightarrow \angle OFE = {90^o} \Rightarrow \angle OFE = \angle OBE = \angle OCE = {90^o}\)
\( \Rightarrow \) F thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác BOCE.
\( \Rightarrow \angle BFE = \angle BCE\) (góc nội tiếp chắn cung BE)
Ta có \(GD//CE\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BCE = \angle BGD\)  (hai góc đồng vị)
\( \Rightarrow \angle BFE = \angle BGD\) hay \(\angle BFD = \angle BGD\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác BFGD nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle DFG = \angle DBC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DG)
Dễ thấy tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \angle DBC = \angle DAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
\( \Rightarrow \angle DFG = \angle DAC\,\,\,\left( { = \angle DBC} \right).\)
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow FG//AC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
4) Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho \(AH = AC\). Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm H di động trên một đường tròn cố định.
Gọi I là điểm chính giữa cung lớn BC
\( \Rightarrow \) I cố định và \(\angle IBC = \angle ICB\)    (1)
Dễ thấy tứ giác ABCI nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \angle IBC = \angle IAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC)    (2)
Mặt khác \(\angle ICB + \angle IAB = {180^o}\) (tứ giác ABCI nội tiếp)
Mà \(\angle IAH + \angle IAB = {180^o}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \angle ICB = \angle IAH\) (cùng bù với \(\angle IAB\))  (3)
Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \angle IAC = \angle IAH\)
Xét \(\Delta IAC\) và \(\Delta IAH\) có:
\(IA\,\,chung\)
\(\begin{array}{l}\angle IAC = \angle IAH\,\,\,\left( {cmt} \right)\\AC = AH\,\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta IAC = \Delta IAH\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow IH = IC = const\end{array}\)
Vậy H thuộc đường tròn \(\left( {I;\,\,IC} \right).\)