Giải thích các bước giải:
a.Ta có $AK\perp CK, AH\perp CH$
$\to \widehat{AKC}+\widehat{AHC}=90^o+90^o=180^o$
$\to A,H,C,K$ thuộc đường tròn đường kính AC
b. Vì $AD$ là đường kính của (O)
$\to AB\perp BD$
Mà $BH\perp AD\to AB^2=AH.AD$
c. Vì $BC\perp AD\to B,C$ đối xứng qua AD
$\to\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
Mà $AMCB$ nội tiếp $(O)\to\widehat{KMC}=\widehat{ABC}$
$\to\widehat{NMK}=\widehat{AMB}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{KMC}$
Xét 2 tam giác vuông $\Delta MKN$ và $\Delta MKC$ có:
$KM$ chung
$\widehat{NMK}=\widehat{KMC}$ (cmt)
$\Rightarrow \Delta MKN=\Delta MKC$ (cạnh góc vuông-góc nhọn)
$\Rightarrow KN=KC\Rightarrow AK$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến $\Delta ANC$
$\Rightarrow \Delta ANC$ cân đỉnh $A$.
d. Vì $\Delta ACN$ cân tại A $\to AN=AC$
Mà B,C đối xứng qua AD
$\to AC=AB\to AN=AB\to\Delta ABN$ cân đỉnh $A$
Lấy E là trung điểm BN$\to AE\perp BN$
$\to E$ là trung điểm BN
$\to S_{ABN}=\dfrac12AE.BN=\dfrac12AE.2BE=AE.BE\le\dfrac{AE^2+BE^2}{2}=\dfrac{AB^2}{2}$
Dấu = xảy ra khi $AE=BE\to\widehat{ABE}=45^o\to\widehat{ABM}=45^o$
