Giải thích các bước giải:
a, Xét ΔCMD có:
O là trung điểm của CD, K là trung điểm của CM
⇒ OK là đường trung bình
⇒ OK ║ MD ⇒ OA ║ MD (đpcm)
⇒ $\widehat{OMD} = \widehat{AOM}$ và $\widehat{ODM} = \widehat{AOC}$
ΔOMD có OM = OD = R ⇒ ΔOMD cân tại O
⇒ $\widehat{ODM} = \widehat{OMD}$
Suy ra: $\widehat{AOM} = \widehat{AOC}$
⇒ ΔAOC = ΔAOM (c.g.c) ⇒ $\widehat{OCA} = \widehat{OMA} = 90^o$
⇒ MA là tiếp tuyến của (O) (đpcm)
b, MA là tiếp tuyến của (O) ⇒ OM ⊥ MA
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AM = AC mà OM = AC ⇒ AO là trung trực của CM ⇒ AO ⊥ CM
BM = BD mà OM = OD ⇒ BO là trung trực của DM ⇒ BO ⊥ DM
⇒ Tứ giác OHMK là hình chữ nhật ⇒ MO = HK
Xét ΔMAO vuông tại M có MK là đường cao
⇒ KO.KA = $MK^2$
Xét ΔMBO vuông tại M có MH là đường cao
⇒ OH.HB = $MH^2$
Suy ra: KO.KA + OH.HB = $MK^2$ + $MH^2$ = $HK^2$ = $OM^2$ = $R^2$
⇒ KO.KA + OH.HB không phụ thuộc vào vị trí của M (đpcm)
c, Dễ dàng chứng minh được ΔCEA ~ ΔSMO (g.g)
⇒ $\frac{AE}{OM}$ = $\frac{CE}{SM}$
⇒ AE.SM = CE.OM (1)
Dễ dàng chứng minh được ΔCEA ~ ΔSEC (g.g)
⇒ $\frac{AC}{SC}$ = $\frac{CE}{SE}$
⇒ AC.SE = CE.SC (2)
mà AM = AC ⇒ AM.SE = CE.SC
CM = R = OC = OM ⇒ ΔOCM đều
⇒ $\widehat{COM} = 60^o$
EC ║ OM ⇒ $\widehat{SCE} = \widehat{COM} = 60^o$
ΔSEC vuông tại E có $\widehat{SCE} = 60^o$ ⇒ SC = 2.CE
ΔCEM vuông tại E có $\widehat{ECM} = 60^o$ ⇒ CM = 2.CE ⇒ OM = 2.CE
⇒ OM = SC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AE.SM = AM.SE (đpcm)
d, Gọi F = AD ∩ CB
Khi M thay đổi, F luôn thuộc đường tròn tâm (O)
