Giải thích các bước giải:
Ta có $PM\perp AB, ON\perp PN$
$\to\widehat{OMP}=\widehat{ONP}=90^o$
$\to OMNP$ nội tiếp đường tròn đường kính $OP(1)$
$\to$Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta OMN$ là $\dfrac12OP$
Ta có $CD$ là đường kính của $(O)\to CN\perp ND$
$\to\widehat{MND}=\widehat{MOD}=90^o$
$\to MNDO$ nội tiếp đường tròn đường kính $OD(2)$
Từ $(1),(2)$ ta có $M,O,P,N, D$ cùng thuộc một đường tròn
Mà $OP$ là đường kính của $(MOPND)$
$\to \widehat{PDO}=90^o\to PD\perp OD$
Lại có $OM\perp OD, PM\perp AB\to PDOM$ là hình chữ nhật
$\to OP^2=MD^2=MO^2+OD^2=(OA-AM)^2+OD^2=(R-\dfrac13R)^2+R^2=\dfrac{13}{9}R^2$
$\to OP=\dfrac{\sqrt{13}}{3}R$
$\to$Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta OMN$ là $\dfrac{\sqrt{13}}{6}R$